微分形式
微分形式(英語:Differential form)是多變量微積分,微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法,都是由法國數學家埃里·嘉當引入的。
例如,一元微積分中的表達式f(x) dx是1-形式的一個例子,並且可以在f定義域內的一個區間[a, b]上進行積分:
類似地,表達式f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz是2-形式的一種,它在可定向曲面S上有曲面積分:
符號∧表示兩個微分形式的外積,有時候也稱為楔積。類似地,3-形式f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz表示可以在空間的一個區域進行積分的體積元。一般地,k-形式是一個可以在k-維集合上進行積分的對象,並且其坐標微分是k次齊次的。
簡介
我們從Rn中的開集的情形開始。一個0-形式(0-form)定義為一個光滑函數f. 當我們在Rn的m-維子空間S上對函數f積分時,我們將積分寫作:
把dx1, ..., dxn當作形式化的對象,而非讓積分看起來像個黎曼和的標記。我們把這些和他們的負−dx1, ..., −dxn叫做基本1-形式。
我們再在其上定義一種乘法規則楔積,這種乘法只需滿足反交換的條件: 對所有i,j
注意這意味着
- .
我們把這些乘積的集合叫做基本2-形式,類似的我們定義乘積
的集合為基本'3-形式,這裏假定n至少為3。現在定義一個單項式'k-形式為一個0-形式乘以一個基本的k-形式,定義k-形式為一些單項式k-形式的和。
楔積可以推廣到這些和上:
等等,這裏dxI和類似的項表示k-形式。換句話說,和的積就是所有可能的積的和。
現在,我們來定義光滑流形上的k-形式。為此,我們假設有一個開坐標覆蓋。我們可以在每個坐標鄰域上定義一個k-形式;一個全局的k-形式就是一組坐標領域上的k-形式,他們在坐標鄰域的交集上一致。這種一致的精確定義,見流形。
楔積的性質
若f, g,w為任意微分形式,則
若f為k-形式,g為l-形式:
抽象(簡明)定義及討論
在微分幾何中,k階微分k-形式是一個流形的餘切叢的k階外冪(exterior power)的光滑截面。在流形的每一點p,一個k-形式給出一個從切空間的k階笛卡兒冪(cartesian power)到R的多線性映射。
例如,光滑函數(0-形式)的微分就是一個1-形式。
1-形式在張量的坐標無關表示中是一個很有用的基本概念。在這個上下文中,他們可以定義為向量的實值函數,並可以看成他們所對應的向量空間的對偶空間。1-形式的一個舊稱就是"協變向量"。
微分形式的積分
k階微分形式可以在k維鏈(chain)上積分。若k = 0,這就是函數在點上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ...對應於線積分,曲面積分,體積分等等。
設
為一微分形式,設S為一個我們想在其上積分的集合,其中S有參數化形式
u屬於參數域D。則[Rudin, 1976]定義S上微分形式的積分為
其中
是雅可比矩陣的行列式。
參見斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。
微分形式的操作
一個流形上所有k-形式的集合是一個向量空間。而且,其上有三類操作:楔積, 外微分(用d表示),和李導數。d2 = 0,細節請見德拉姆上同調。
外導數和積分的基本關係由推廣的斯托克斯定理給出,它也同時給出了德拉姆上同調和鏈的同調的對偶性。
參考
- Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
- Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.
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