巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器（英語：Butterworth filter）是一種通頻帶之頻率響應曲線平坦無漣波的訊號處理濾波器。它也被稱作最大平坦濾波器。這種濾波器最先由英國工程師、物理學家史蒂芬·巴特沃斯在1930年發表的論文《濾波器放大器理論研究》中提出的。

巴特沃斯濾波器的特性

一階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖

巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有漣波，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在對數鮑圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨着角頻率的增加而線性減少至負無窮。

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6 dB，每十倍頻20 dB（所有一階低通濾波器具有相同的歸一化頻率響應）。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12 dB、 三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18 dB、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅是 ω 的一個單調函數，並且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

傳遞函數

一階至五階巴特沃斯低通濾波器增益圖，截止頻率 $\omega _{0}=1$。注意到斜率是 20n dB/decade，其中 n 為濾波器階數。

n 階巴特沃斯低通濾波器的增益 $G(\omega )$ 為：

$G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}$

其中,

• n = 濾波器的階數
• ω_c =截止頻率 =功率下降為 -3分貝時的 頻率
• $G_{0}$ 是直流增益（零頻率增益）

可以看出隨着 n 趨近於無窮，增益變為一個矩形函數，頻率低於 ω_c 的會以 $G_{0}$ 的增益通過，而頻率高於 ω_c 的就會被抑制。對於較小的 n 值，截止就會變得不十分尖銳。

我們希望能夠（通過拉普拉斯變換）確定傳遞函數 H(s)，其中 $s=\sigma +j\omega$。根據 $\left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}$，及拉普拉斯變換在虛軸 $s=j\omega$ 上的性質 $H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}$，若選取 H(s) 滿足：

$H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},$

則對於虛數輸入 $s=j\omega$，我們就有了巴特沃斯濾波器的頻率響應。

上述表達式的 n 個極點等距離地分佈在半徑為 ω_c 的圓上，並關於虛軸對稱。為了具有穩定性，傳遞函數 H(s) 要選擇只包含 s 負實半平面的極點。第 k 個極點為

$-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n$

因此，

$s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.$

n階巴特沃斯低通濾波器的振幅和頻率關係可用如下的公式表示：

$G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+(\omega /\omega _{\mathrm {c} })^{2n}}}}$

其中：

• G 表示濾波器的放大率，
• H 表示 傳遞函數，
• j 是 虛數單位，
• n 表示濾波器的級數，
• ω 是訊號的 角頻率，以弧度/秒 為單位，
• $\omega _{\mathrm {c} }$ 是振幅下降3分貝時的截止頻率。

令截止頻率$\omega _{\mathrm {c} }=1$), 將上列公式規定一化成為：

$G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+\omega ^{2n}}}}$

根據衰減度求濾波器的階數

令 1/A=$G_{n}(\omega )$

$n={\frac {log_{10}(A^{2}-1)}{2log_{10}(\omega )}}$

例：在 $(\omega )=2$ 時 $G_{n}(\omega )$=0.005

A= 200, n=7.6, 取大一號整數，即需要 8 階巴特沃斯濾波器。

二階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖

振幅最平坦的濾波器

g的頭(2n-1)次導數在ω = 0時為零，說明放大率對 ω 是常數。 因此巴特沃斯濾波器又被稱為最平坦的濾波器。

高頻衰減

${{\left|H(j\omega )\right|^{2}}_{dB}}={40n}{log_{10}{\omega }}$

因此，n階巴特沃斯低通濾波器的高頻衰減為每十倍頻20n 分貝。

實例

k階巴特沃斯濾波器的考爾第一型電子線路圖如下: 其中：

• 電容$C_{k}=2sin\left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$; k = 奇數
• 電感$L_{k}=2sin\left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$; k = 偶數

歸一化的巴特沃斯多項式

n 多項式因子 $B_{n}(s)$ 1 $(s+1)$ 2 $s^{2}+1.414s+1$ 3 $(s+1)(s^{2}+s+1)$ 4 $(s^{2}+0.7654s+1)(s^{2}+1.8478s+1)$ 5 $(s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)$ 6 $(s^{2}+0.5176s+1)(s^{2}+1.414s+1)(s^{2}+1.9318s+1)$ 7 $(s+1)(s^{2}+0.4450s+1)(s^{2}+1.247s+1)(s^{2}+1.8022s+1)$ 8 $(s^{2}+0.3986s+1)(s^{2}+1.111s+1)(s^{2}+1.6630s+1)(s^{2}+1.9622s+1)$

與其他類型濾波器的比較

下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階I型切比雪夫濾波器（右上）、II型切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數濾波器（右下）的頻率響應圖。

由圖可見，巴特沃斯濾波器的衰減速度比其他類型濾波器緩慢，但十分平坦，沒有振幅變化。

參見

• 貝塞耳濾波器
• 切比雪夫濾波器
• 梳狀濾波器
• 橢圓函數濾波器

參考文獻

• Matthaei, George L.; Young, Leo and Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill, 1964 .