對稱群 (n次對稱群)

數學上，集合X上的對稱群記作S_X或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的對射。由於恆等函數是對射，對射的反函數也是對射，並且兩個對射的複合仍是對射，這個集合關於函數的複合成為群，即是置換群Sym(X)。兩個函數的複合一般記作f o g，在置換群的表示里簡記作fg。

對稱群在很多不同的數學領域中，都扮演了重要角色。包括：伽羅華理論、不變量理論、李群的表示理論和組合學等等。

有限置換群

各種置換群中，有限集合上的置換群有着特殊的重要性。

令X = {1,...,n}，

稱X上的對稱群是S_n。 X上所有的排列構成了全部一一映射的集合，因此，S_n有n!個元素。對n > 2，S_n不是阿貝爾群。當且僅當n ≤ 4時，S_n是可解群。對稱群的子群稱為置換群。

置換的乘積

對稱群中，兩個置換的乘積就是指對射函數的複合，由符號"∘"（U+2218 ∘ ）來表示，也可以省略。例如：

f=(1\ 3)(4\ 5)(2)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}

g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}

f與g的複合應先適用g，其後適用f。那麼在g中的次序1將先被映射為元素2，然後再由 f的次序2轉換成元素2，g的次序2先映射為5，然後由 f的次序5轉換成4；3被 f∘g轉換成5，如此類推。所以 f乘以g是：

fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}

容易證明長度為L =k·m的輪換(或稱循環，如下節敘述)，它的k次方會分解為k個長度為m的輪換。比如(k = 2, m = 3)：

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6)~

。

對換

對換指只交換集合中的兩個元素而使其他元素仍轉換到自身的置換，例如(1 3)。每個置換都能寫成一系列對換的乘積。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由於g能被寫成奇數個對換的乘積，g是一個奇置換。與此相反的，f是一個偶置換。

一個置換表達成對換乘積的方式不是唯一的，但每種表達方式中對換的個數的奇偶性不變，可以據此定義奇置換和偶置換。

兩個偶置換的乘積是偶置換，兩個奇置換的乘積是偶置換，奇置換和偶置換的乘積是奇置換，偶置換和奇置換的乘積是奇置換。於是可以定義置換的正負號（sign）：

\operatorname {sgn} (f)=\left\{{\begin{matrix}+1,&{\mbox{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}f{\mbox{ is odd}}\end{matrix}}\right.

在這個定義下，

sgn: S_n → {+1,-1}

是一個群同態。({+1,-1}關於乘法構成群)，這個同態的同態核是所有的偶置換，稱作n次交錯群，記作A_n。它是S_n的正規子群，有n! / 2個元素。

置換的正負號也可以定義為：

\operatorname {sgn} (f)=(-1)^{n-O(n)}

其中n-O(n)表示置換f的輪換指數，O(n)表示置換f的軌道（orbit）數。群S_n是A_n和由一個單一對換生成的任何子群的半直積。

輪換

輪換指一種置換f，使得對集合{1,...,n}中的某個x，x, f(x), f²(x), ..., f^k(x) = x是f作用下不映射到自身的所有元素。比如說，以下的置換h

h={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{bmatrix}}

就是一個輪換。因為h(1) = 4, h(3) = 1，h(4) = 3。2，5不變。我們將這個輪換記作(1 4 3)，它的長度是3。輪換的階數等於它的長度。如果兩個輪換移動的元素皆不相同，則稱它們不交。不交的輪換是可交換的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每個S_n中的元素都可以寫成若干個互不相交的輪換的乘積。如果不計輪換的排列次序，這種表示是唯一的。

共軛類

S_n的共軛類是對於置換輪換表達的結構來說的。兩個置換共軛，當且僅當在它們的輪換表達中，輪換的數量以及長度都相等。比如說，在S₅中， (1 2 3)(4 5)與(1 4 3)(2 5)共軛，但不與(1 2)(4 5)共軛。

凱萊定理

凱萊定理：任意群G都與某個轉換群同構。

推論：任意有限群都與某個置換群同構。

參見

楊對稱化子