奇點理論

數學中，奇點理論（Singularity theory）研究的是幾乎是流形而不是流形的空間。若忽略其厚度，繩子就可以作為1維流形的例子。把它揉成一團，丟在地上壓扁，就能形成奇異點（singularity）：展平的弦在某些地方以近似X的形狀交叉，這就是一種奇點——雙點：一個點對應多個點的繩。也許，繩子也能在不交叉的情形下自交，就像帶下劃線的「U」，這是另一種奇異點。這種奇異點不穩定，只要輕輕一推，「U」的底部就會脫離「下劃線」。

弗拉基米爾·阿諾德將奇點理論的主要目標定義為描述對象如何依賴於參數，尤其是參數發生微小變化時，屬性會不會、如何突然變化。這些情形稱作perestroika（俄語：перестройка）、分岔或災變。對變化的類型進行分類、確定引發變化的參數集特徵，是一些主要的數學目標。奇點可能出現在取決於參數的矩陣到波前等多種數學對象中。^[1]

奇點的產生

奇點理論中，奇點與奇點集的一般現象，是流形（無奇點空間）可能從多種途徑獲得特殊奇點這一概念的一部分。投影是其中一種方式，三維物體投影到二維空間（如人眼）中時，視覺效果非常明顯；觀看雕像時，褶皺是最明顯的特徵之一。這類奇點包括焦散，如泳池底部的光斑。

其他會出現奇點的方式是流形結構的退化。對稱的出現是考慮軌形的好理由，這是在摺疊過程中獲得的有「角」流形，類似於餐巾紙的摺痕。

代數幾何中的奇點

代數曲線奇點

歷史上，奇點最早出現在代數曲線的研究中。

y^{2}=x^{2}+x^{3}

在(0, 0)處的雙點與

y^{2}=x^{3}\

在(0, 0)處的尖點有本質區別，從草圖就能看出。艾薩克·牛頓對所有三次平面曲線進行了詳細研究，這些例子就屬於三次曲線的一般族。提出貝祖定理時，人們注意到在計算曲線的交點時，必須用重複度（如雙點是2，尖點是3）來計數。

隨後，只需定義代數簇的奇點的一般概念，即允許更高的維數。

奇點在代數幾何中的一般位置

代數幾何中的奇點原則上是最容易研究的，因為它們是多項式方程定義的，也是由坐標系定義的。可以說，奇點的「外在意義」沒有問題，只是在「內部意義」上，環境空間中的坐標不能直接轉換點上的代數簇。對這種奇點的深入研究最終產生了廣中平祐關於奇點解消的基本定理（在特徵為零的雙有理幾何中）。這意味着，通過「顯然」的雙點交叉來「消解」一段繩本身的簡單過程，本質上沒有誤導性：代數幾何的所有奇點都可作為某類非常普遍的坍縮（多重過程）來恢復。這一結果常被隱式地用於將仿射幾何推廣到射影幾何：當仿射簇在射影平面中閉合時，它在無窮遠處的超平面上會出現奇點，這完全是很典型的現象。也就是說，這種奇點可當成一種（複雜的）緊化，最終得到緊流形（即強拓撲，而非扎里斯基拓撲）。

光滑理論與災變（catastrophe）

與廣中平祐的研究幾乎同時，勒內·托姆的災變理論也受到了廣泛關注。這是奇點理論的另一分支，以哈斯勒·惠特尼早期關於臨界點的研究為基礎。粗略地說，光滑函數的臨界點是水平集在幾何意義上形成奇點的地方。這一理論處理的是一般可微函數，不僅僅是多項式。作為補償，只考慮穩定現象。可以說，自然界中任何被微小變化破壞的現象都不可見，可見的是穩定的現象。惠特尼已經證明，在變量數較少的情況下，臨界點的穩定結構在局部上受到很大限制。托姆在此基礎上結合自己早期的工作，創立了災變理論，以解釋自然界中的不連續變化。

阿諾德的觀點

後來埃里克·克里斯托弗·齊曼傳播的基本災變理論引起了反響，吸引了弗拉基米爾·阿諾德等人。^[2]他將奇點理論一詞廣泛用於代數幾何及惠特尼、托姆等人的研究成果，在文章中明確表示不喜歡過於強調這一領域的一小部分。關於光滑奇點的基礎工作被表述為奇點上等價關係的構造以及芽。從技術上講，這涉及射流空間上李群的群作用；用不太抽象的術語研究泰勒級數隨變量變化的行為，用足夠多的導數確定奇點。根據阿諾德的觀點，其應用將體現在經典力學的幾何形式——辛幾何中。

對偶性

奇點在數學中造成問題的一個重要原因是，由於流形結構的失效，不再允許龐加萊對偶性。交上同調的引入是個重大進步，產生於用層恢復對偶性的嘗試。最初的想法產生了諸多聯繫與應用，例如同調代數中的錯致層概念。

其他可能含義

上述理論與數學奇點的概念並無直接關係，後者是指函數沒有定義的點，參見孤立奇點、本質奇點、可去奇點。不過，複數域中微分方程奇點周圍的單值性理論確實與幾何理論有關。粗略地說，單值性理論研究覆蓋映射退化的方式，而奇點理論研究流形退化的方式，兩者是互相關聯的。

另見

腳註

^ Arnold, V. I. Singularity Theory. www.newton.ac.uk. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. 2000 [2016-05-31]. （原始內容存檔於2024-02-29）.
^ Arnold 1992

參考文獻

V.I. Arnold. Catastrophe Theory. Springer-Verlag. 1992. ISBN 978-3540548119.

E. Brieskorn; H. Knörrer. Plane Algebraic Curves. Birkhauser-Verlag. 1986. ISBN 978-3764317690.

R. Abraham and J. Marsden. Foundations of Mechanics, Second Edition. Benjamin/Cummings Publishing Company. 1987.

[1] Arnold, V. I. Singularity Theory. www.newton.ac.uk. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. 2000 [2016-05-31]. （原始內容存檔於2024-02-29）.

[2] Arnold 1992

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