在數學內,墨卡托級數(Mercator series)或者牛頓-墨卡托級數(Newton–Mercator series)是一個自然對數的泰勒級數:
使用大寫sigma表示則為
當 −1 < x ≤ 1時,此級數收斂於自然對數(加了1)。
歷史
這級數被尼古拉斯·墨卡托,牛頓和Gregory Saint-Vincent分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作Logarithmo-technica。
推導
這級數可以由泰勒公式導出,藉由不斷地計算第n次ln x在x = 1時的微分,一開始是
或者,我們可以從有限的等比數列開始(t ≠ −1)
這可以導出
然後得到
接着逐項積分,
若−1 < x ≤ 1,餘項會在時趨近於零。
這個表示法可以重複積分k次,得到
這裏的
和
都是x的多項式。[1]
特例
令墨卡托級數裏面的x = 1,則我們會得到交錯調和級數
複數級數
下面的複數冪級數
是ln(1 + z)的泰勒級數,這裏ln代表複對數(complex logarithm)的主要分支(principal branch)。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤 |z| < 1 以及圓 |z| = 1 , z = -1除外 (根據阿貝爾判別法),而且這裏的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的 。
參考資料
- ^ Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. Iterated primitives of logarithmic powers. 2009. arXiv:0911.1325 .