聖彼得堡悖論

聖彼得堡悖論（St. Petersburg paradox）是決策論中的一個悖論，由尼古拉一世·伯努利提出。1738年，丹尼爾·伯努利以功用理論來解答這個問題，因此形成預期功用理論。

問題內容

1730年代，數學家丹尼爾·伯努利的堂兄尼古拉一世·伯努利，在致法國數學家皮耶·黑蒙·德蒙馬特的信件中，提出一個問題：

有一個「擲硬幣擲到正面為止」的賭局，第一次擲出正面，就給你1元。第一次擲出反面，那就要再擲一次，若第二次擲的是正面，你便賺2元。若第二次擲出反面，那就要擲第三次，若第三次擲的是正面，你便賺2*2元……如此類推，一直擲到正面為止。你可能擲一次，賭局便結束，也可能反覆一直擲，擲個沒完沒了。問題是，你最多肯付多少錢參加這個賭局？

聖彼得堡遊戲

你最多肯付的錢應等於該遊戲的期望值：

$E={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1}{16}}\cdot 8+\cdots$

$={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots$

$=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over 2}=\infty$

這個賭局的期望值是無限大，即你最多肯付出無限的金錢去參加這個遊戲。但是，你更可能只賺到1元，或者2元，或者4元等，而不可能賺到無限的金錢。那你為什麼肯付出無限的金錢參加賭局呢？

如果限定最多可以擲100次（100次都是反面，就不給你錢了），則期望值為50元，但是一般人都不願意真的付50元去參加這個賭局。

實驗的論文解釋

丹尼爾·伯努利在1738年的論文裏，對這個悖論提出了解答，他以功用的概念，來挑戰以金額期望值為決策標準，論文主要包括兩條原理：

1. 邊際功用遞減原理：一個人對於財富的佔有多多益善，即功用函數一階導數大於零；隨着財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，功用函數二階導數小於零。
2. 最大功用原理：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望值功用值而非最大期望值金額值。

參見

• 功用
• 阿萊悖論
• 艾爾斯伯格悖論