否定後件

在經典邏輯中，否定後件（拉丁語：modus tollens）有如下論證形式：

如果P，則Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被認為是否定結論，是一種有效的認證形式。

否定後件有時會與歸謬法 (Proof by contradiction)（假設命題的否定成立，證明這會導致矛盾）或者反證法 (Proof by contrapositive)（證明如果P則Q，通過證明如果非Q則非P的方法實現）相混淆。

例子

歸謬法的例子如下：

假定 $G$ 是一個有限循環群，且 $G$ 是單群，則 $G$ 的階為質數。
也就是說，
若 $G$ 的階不是質數，則 $G$ 不是有限循環群，或者 $G$ 不是單群。
證明：
- 假定原論述不成立，那麼就表示「 $G$ 的階不是質數」是錯的
- 也表示說「若 $G$ 的階不是質數，則 $G$ 不是有限循環群，或者 $G$ 不是單群。」是錯的
- 這就表示「有個集合 $G$ 是有限循環群，且 $G$ 是單群」，而且「 $G$ 的階不是質數」
- 現在假定 $G$ 的階是 $n$ ，生成元是 $a$ ， $G$ 單位元則記做 $e$ ，因此有 $e=a^{n}$
- 由於 $G$ 是循環群，因此 $G$ 且 $a$ 是生成元，因此 $G$ 的所有元素都可表示成 $a^{k}$ 的形式，其中 $0\leq k<n$ ；又 $n$ 不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數 $p$ 和 $q$ ，使得 $n=pq$
- 由此可知， $a^{p}$ 是 $G$ 的元素，且 $(a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e$
- 所有形如 $(a^{p})^{y}=a^{py}$ 的元素可構成 $G$ 的一個真子群 $H$ ，且 $H\neq \{e\}$ 。
- 由於 $G$ 是循環群，因此 $G$ 是一個交換群。
- 由於 $G$ 是交換群，因此 $G$ 的所有子群都是正規子群。
- $H$ 是 $G$ 的一個真子群。
- $H$ 是 $G$ 的一個正規子群。
- $G$ 有 $\{e\}$ 和自身以外的正規子群，此與 $G$ 是單群的假設矛盾。
- 這表示先前的假設「『若 $G$ 的階不是質數，則 $G$ 不是有限循環群，或者 $G$ 不是單群。』是錯的」這條是錯的。
- 因此原論述「假定 $G$ 是一個有限循環群，且 $G$ 是單群，則 $G$ 的階為質數。」是對的。