發散級數

發散級數（英語：Divergent Series）是指（按柯西意義下）不收斂的級數。如級數 $1+2+3+4+\cdots$ 和 $1-1+1-1+\cdots$ ，也就是說該級數的部分和全部序列沒有一個有窮極限。

如果一個級數是收斂的，這個級數的項一定會趨於零。因此，任何一個項不趨於零的級數都是發散的。不過，收斂是比這更強的要求：不是每個項趨於零的級數都收斂。其中一個反例是調和級數

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.

調和級數的發散性被中世紀數學家奧里斯姆所證明。

Les séries divergentes sont en général

quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration.

(「發散級數通常是災難性的，基於它的任何證明都是不光彩的。」經常被翻譯為「發散級數是魔鬼的發明 ……」)

N. H. Abel, letter to Holmboe, January 1826, 再版於他論文集的第二卷。

可和法

在實際的數學研究以及物理、天文等其它學科的應用中，經常會自然地涉及各種發散級數，所以數學家們便試圖給這類發散級數客觀地指派一個實或復的值，定義為相應級數的和，並在這種意義之下研究所涉及的發散級數。每一種定義都被稱為一個可和法（英語：Summability method），也被理解為一類級數到實數或複數的一個映射，通常也是一個線性泛函，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法與波萊爾可和法等。

可和法通常保持收斂級數的收斂值，而對某些發散級數，這種可和法和能額外定義出相應級數的和。例如切薩羅可和法將格蘭迪級數

1-1+1-1+\cdots

可和到1/2。大部分可和法與相應冪級數的解析延拓相關，每個適當的可和法試圖描述的是序列趨於無窮時的平均表現，這種意義下也可以理解為無窮序列的均值。

歷史

…… 柯西之前的數學家們不會問「我們應該如何定義1 − 1 + 1...？」而會問「1 − 1 + 1...是什麼？」他們認知中的這種習慣將他們引入了不必要的疑惑和爭辯，它們往往是非常口頭上的。

G. H. Hardy, Divergent series, 第6頁

19世紀前，歐拉以及其他數學家廣泛地應用發散級數，但經常引出令人困惑與矛盾的結果。其中，主要的問題是歐拉的思想，即每個發散級數都應有一個自然的和，而無需事先定義發散級數的和的含義。柯西最終給出了（收斂）級數的和的嚴格定義，從這過後的一段時間，發散級數基本被排除在數學之外了。直到1886年，它們才在龐加萊關於漸進級數的工作中再次出現。在1890年，切薩羅意識到可以對一類發散級數的和給出嚴格定義，從而定義了切薩羅和。（這並不是第一次應用到切薩羅和，弗比尼斯在1880年曾經使用過；切薩羅關鍵的貢獻並不是發現了這個可和法，而是由於他認為「應當給出發散級數和的精確定義」的思想。）在切薩羅的論文發表的後一年，其他的一些數學家陸續給出了發散級數和的其他定義，不過這些定義並不總是相容的：不同的定義可能對相同的發散級數給出不同的和。所以，當提及發散級數的和時，需要具體指明所使用的是哪個可和法，儘管大部分常用的可和法某種意義上是彼此相容的。

關於發散級數求和的可和法定理

收斂級數映射到它的和的函數是線性的，從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出，這個函數能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法，這個事實一般並不怎麼有用，因為這樣的擴張許多都是互不相容的，並且也由於這種算子的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構造的。

發散級數這一分支，作為分析學的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關物件。維納陶伯型定理的出現標誌着這一分支步入了新的階段，它引出了傅立葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯繫。

發散級數的求和作為數值技巧也與插值法和序列轉換相關，這類技巧的例子有：帕德近似、Levin類序列轉換以及與量子力學中高階微擾論的重整化技巧相關的依序映射。

可和法的基本性質

可和法通常關心的是級數的部分和序列。有時這個序列並不收斂，但經常能發現，從序列首項起，逐個取越來越多的項的平均，得到的均值列可以是收斂的，可以用這個均值列的極限取代原本的概念，用以表示相應級數的和。所以通常為了得到級數 a₀ + a₁ + a₂ + ...,的和，會從序列s出發考慮，其中s₀ = a₀，s_n+1 = s_n + a_n+1，其中在收斂的情形下，序列s趨於某個極限a。每個可和法也能被理解為一類級數的部分和序列到實數或複數的一個映射，在這種理解下，可以通過考慮將相應級數映射到相同的值的映射，將其化為級數可和法 A^Σ，反之亦然。這些可和法通常需要遵循或者擁有一類自然的性質，使得它們在應用上如同極限的概念一樣，更容易推出一般性的結論。

正則性. 稱可和法A為正則的，是指對每個收斂到x的序列s，有A(s) = x。等價地說，相應的級數可和法總會給出A^Σ(a) = x。
線性. 稱可和法A為線性的，是指它作為(部分和)序列上的函數是一個線性泛函，因此對序列r、s與實或復的純量k有A(k r + s) = k A(r) + A(s)。由於級數a的項a_n+1 = s_n+1 − s_n是一族關於序列s的線性泛函，反之亦然，所以這也等價於說 A^Σ是作用在級數的項序列上的線性泛函。
穩定性 (也被稱為可移性).若s是從s₀開始的序列，並且s′是通過刪去s的首項並在餘下每一項減去s₀得到的序列，也就是s′_n = s_n+1 − s₀，則A(s)有定義當且僅當A(s′)有定義，並且A(s) = s₀ + A(s′)。等價地說，只要對每個n有a′_n = a_n+1，那麼A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a′)^[1]^[2]。對此的另一種表述是，在這個可和法下可和的級數都滿足移位法則。

有許多可和法都滿足比正則性更強的全正則性，例如切薩羅和。

全正則性.倘若可和法不僅正則，還將每個發散到正無窮的序列可和到正無窮，發散到負無窮的序列可和到負無窮，則稱這個可和法是全正則的。

這種性質是將正則性與廣義實數結合考慮後所自然產生的，換句話說，並不將通常意義下的發散到正無窮的級數視作沒有極限的，而是視作以正無窮為「極限」。例如一個可和法將 $1+2+3+4+\cdots$ 可和到 $-1/12$ ，那麼它一定不是全正則的。類似的，也可以在納入廣義實數考慮的情形下，藉助廣義實數間的運算法則定義出類似意義下的線性。

第三個性質不那麼重要，對一些重要的可和法而言，例如波萊爾可和法，可能會沒有這種性質^[3]。應該注意到的是，這裏並沒有希望所考慮的可和法定義在每個實序列或者有界實序列上，這是因為大部分有力的可和法也無法滿足這種性質。倘若希望討論額外滿足這種性質的可和法，例如巴拿赫極限，需要證明這種可和法的存在性，這將會涉及哈恩-巴拿赫定理。

還可以給出比穩定性稍弱一點的條件。

有限可重排性.若 a和a′是兩個級數，之間存在一個對射 $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ，使得a_i = a′_f(i)對每個 i成立，還存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得對每個i > N都有a_i = a′_i，則 A^Σ(a) = A^Σ(a′)。(換句話說，a′和a只要重排有限項後便是同一個級數。)注意到這是比穩定性要弱的條件，因為每個遵循穩定性的可和法也會遵循有限可重排性，但反過來並不正確。

對於兩個不同的可和法A和B，會希望它們能享有相容性：稱A和B為相容的，是指對兩個可和法下都可和的序列s而言，有A(s) = B(s)。如果兩個可和法是相容的，並且其中一個能可和的級數多於另一個，便把能可和得更多的那個稱為更強的。

有一些有力的數值可和法既不正則也不線性，例如一些非線性的序列轉換，像是Levin類序列轉換和帕德近似，以及基於重整化技巧中微擾級數的依序映射。

倘若將正則性、線性和穩定性視作公理，那麼通過基本的代數操作便能對許多發散級數求和。這部分地解釋了不同的可和法對一類級數總給出同一個值的原因。

例如，對於公比r≠1的幾何級數，假定在某個符合以上三條的可和法下都是可和的，便可得到

{\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+r\,G(r,c),&&\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}}.&&\\\end{aligned}}

值得一提的是，這裏 $G(r,c)$ 所滿足的方程 $x=c+rx$ ，在r>1時也可理解為以 $\infty$ 為另一個解，所以在這種意義下便不能斷言 ${\frac {c}{1-r}}$ 是唯一的解。更嚴格地說，每個遵循這些性質，並且將相應幾何級數可和到有限值的可和法，一定將其可和到這個值。進一步的，當r是大於1的實數時，部分和遞增且無界，從而在之前所說的平均法下，以正無窮為和。

傳統意義下的可和法

常規收斂和絕對收斂是級數在傳統意義下的兩個可和法，這裏只是出於完整性的考慮才加以討論；嚴格來說，它們並不算是發散級數的可和法，這是因為只有當這些可和法失效時，才說一個級數發散。大部分發散級數的可和法都是這兩個可和法在更大一類序列上的延拓。

級數的和

柯西對級數a₀ + a₁ + ...的和的經典定義為部分和序列a₀ + ... + a_n的極限。通過兩個實數之間加法運算的定義，再依據數學歸納法，不難自然地定義出有限個實數間的加法。但是有限個實數間的加法有定義並不意味着能直接地導出級數的和的定義，因為此時並沒有定義無限項相加的概念，只有藉助極限進行額外定義才能明確級數的和的概念。

絕對收斂

給定收斂到s的收斂級數a，倘若任意置換級數a的項得到級數a′後，a′收斂也總是收斂到s，則稱級數a是絕對收斂的。在這個定義之下可以證明，一個級數收斂當且僅當取它每一項絕對值後得到的新級數在經典意義下收斂。有些地方會將後者作為絕對收斂的定義，但由於不涉及絕對值的概念，所以前者的定義更有一般性。

Nørlund平均

取從p₀起的正項序列p_n，並且滿足

{\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.

用序列p轉換序列s，給出加權平均，也就是取

t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}.

當m趨於無窮時，t_m的極限倘若存在，則稱其為s的Nørlund平均或者Nørlund和 N_p(s)，相應的可和法稱為Nørlund可和法。

Nørlund可和法是全正則、線性、穩定的。令人驚訝的是，任意兩個Nørlund可和法都是相容的。

切薩羅可和法

最特別的Nørlund可和法是切薩羅可和法。

考慮級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ，記 $s_{n}=a_{1}+\cdots +a_{n}$ 為它的部分和，再記 $t_{n}={\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}$ 。如果 $t_{n}\rightarrow s$ ，則稱這個級數的切薩羅和為 $s$ 。這顯然是一個Nørlund可和法。

作為推廣，取p^k為

p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}.

定義N_(p^k)(s)為切薩羅和C_k(s)，k不必總為整數。當k ≥ 0時，切薩羅和也是Nørlund和，從而是全正則、線性、穩定並且兩兩相容的。其中C₀是常規的和，C₁是經典的切薩羅和。進一步的，若h > k，則C_h強於C_k。

阿貝爾型可和法

假定λ = {λ₀, λ₁, λ₂,...}是嚴格遞增趨於無窮的序列，並且λ₀ ≥ 0。倘若

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)

對每個實數x > 0收斂，則定義其阿貝爾型平均/阿貝爾型可和法 A_λ為

A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).

更一般地說，如果級數f只對大的x收斂，但能解析延拓到每個正的實x上，那麼依舊能以上述方式定義出相應的可和法。

這類級數也被稱為廣義狄利克雷級數；在物理應用中，這被稱為熱核正則化方法。

阿貝爾型可和法是正則、線性的，但不穩定，並且兩個不同的阿貝爾型可和法也不總是相容的。不過，其中一些可和法是非常重要的。

阿貝爾可和法

如果取λ_n = n，便得到了阿貝爾可和法。並且

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},

其中z = exp(−x)。因此當x右趨於0時，f(x)的極限恰為z左趨於1時，冪級數f(z)的極限。所以阿貝爾和A(s)也可以定義為

A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

阿貝爾可和法某種意義上非常有趣，因為它和每個切薩羅可和法相容且更有力，即總有A(s) = C_k(s)，只要後者有定義。阿貝爾和是正則、線性、穩定的，並且與切薩羅可和法相容。

林德勒夫可和法

如果取λ_n = n log(n)，便得到了林德勒夫可和法（指標從1算起），有

f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .

於是L(s)或者說林德勒夫和 (Volkov 2001)，是x右趨於0時f(x)的極限。林德勒夫和是非常有力的可和法，倘若應用在有正收斂半徑的冪級數上，那麼在這個冪級數的米塔-列夫勒星形域上處處都是可和的。

準確的說，如果g(z)是在原點解析的解析函數，從而有相應正收斂半徑的麥克勞林級數，並且在其米塔-列夫勒星形域上總有L(G(z)) = g(z)。進一步的，L(G(z))在這個星形域的每個緊集上均勻收斂到g(z)。

解析延拓

有一些可和法涉及了對相關函數的解析延拓的討論。

冪級數的解析延拓

如果Σa_nxⁿ對小的復x收斂，並且能沿着某條路徑從x = 0延拓到x = 1，則可以把級數的和定義為延拓後的函數在x = 1處的值。這個值可能會依賴於路徑的選取。

歐拉可和法

歐拉可和法本質上是解析延拓的精確形式。如果一個冪級數對小的復z收斂，並且能從半徑為−1/q + 1的圓解析地延拓到半徑為1的圓上，而且在z=1處連續，則此處的值被稱為級數a₀ + ....的歐拉和或是(E,q)和。歐拉在解析延拓被定義前普遍地應用這個概念，並且給出了冪級數解析延拓的精確形式。

歐拉轉換的操作能被重複上好幾次，它本質上等價於考慮冪級數在z = 1處的解析延拓。

狄利克雷級數的解析延拓

考慮狄利克雷級數

f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots

解析延拓到s = 0處的值，如果存在便是唯一的，將其定義為相應級數的和便給出了一個可和法。這個可和法有時會被混同於zeta函數的正則化。

zeta函數的正則化

如果級數

f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots

(對於正的a_n)對大的實s收斂，並且能沿着實線解析地延拓到s = −1，則它在s = −1處的值被稱為級數a₁ + a₂ + ...的zeta正則和，這種廣義和是非線性的。在應用中，a_i有時會是有緊分解的自伴算子A的特徵值，從而f(s)是A^−s的跡。例如，若A有特徵值 1, 2, 3, ... 則f(s)是黎曼zeta函數， ζ(s)在s = −1處的值是−1/12，這為發散級數1 + 2 + 3 + 4 + …指派了相應的和。其它的s處的值，也能以此被理解為定義了相應的廣義和，像是ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2、ζ(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0。一般而言，

\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,

其中B_k是伯努利數.^[4]

基於整函數的可和法

如果J(x) = Σp_nxⁿ是一個整函數，並且下述極限存在，則級數a₀ + ...的J和被定義為

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}}.

在一個變體下，J相應的級數有有限收斂半徑r並且在x = r處發散。在這種情形下也可以用如上方式定義相應的可和法，不過要將x趨於無窮大替換為x（左）趨於r。

波萊爾可和法

J(x) = e^x這個特殊情形給出了(弱)波萊爾可和法。

Valiron可和法

Valiron可和法是波萊爾可和法在一類更一般的整函數J上的推廣。Valiron展示了在一定條件下，它等價於將級數的和定義為

\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})

其中H是G的二階導數，並且c(n) = e^−G(n)。

矩可和法

dμ是實數上的測度，並使得每個矩

\mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu

有限。若級數a₀ + a₁ + ...使得

a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots

對每個x收斂，那麼級數的(dμ)和被定義為積分

\int a(x)\,d\mu

的值，只要這個積分有定義。（注意到如果μ_n增速過快，則它們並不能唯一決定測度μ。）

波萊爾可和法

例如若對正的x，dμ = e^−x dx，而對負的x為0，則μ_n = n!。這個給出了一種形式的波萊爾可和法，其中級數的和為

\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.

可以對此推廣出依賴於參量α的可和法，稱為(B′,α)和，其中級數a₀ + ... 的和被定義為

\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt,

只要這個積分存在。更進一步的推廣將被積函數替換為從小的 t起的解析開拓。

各類可和法

郝斯多夫轉換

Hardy (1949，chapter 11).

赫爾德可和法

Hutton可和法

Hutton於1812年，引入了一種發散級數的可和法，它從部分和序列出發，反覆執行將序列 s₀, s₁, ...替換為平均序列s₀ + s₁/2, s₁ + s₂/2, ...的操作，再取其極限。

(Hardy 1949，p. 21)

英厄姆可和法

稱級數a₁ + ... 英厄姆可和到s，指的是

\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.

英厄姆證明了如果取定δ為某個正數，則(C,−δ) (切薩羅)可和性可以推出英厄姆可和性，並且英厄姆可和性還能推出(C,δ)可和性。

Hardy (1949，Appendix II)

朗伯可和法

稱級數a₁ + ... 朗伯可和到s，指的是

\lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.

如果級數對某個k是(C,k) (切薩羅)可和的，則它也朗伯可和到相同的值。若級數是朗伯可和的，則它也阿貝爾可和到相同的值。

Hardy (1949，Appendix II)

Le Roy可和法

稱級數a₀ + ... Le Roy可和到s，指的是

\lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.

Hardy (1949，4.11)

米塔-列夫勒可和法

稱級數a₀ + ... 米塔-列夫勒(M)可和到s，指的是

\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.

Hardy (1949，4.11)

拉馬努金可和法

拉馬努金可和法是拉馬努金基於歐拉-麥克勞林求和公式給出的發散級數可和法。級數f(0) + f(1) + ...的拉馬努金和不僅依賴於f在整數上的取值，也依賴於f在其它非整數上的取值，所以它並不是在通常意義下的可和法。

如果指數母函數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nz}$ 的收斂區域非空，且它可以解析延拓為複數平面上的亞純函數，它的洛朗級數的零次系數就等於級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 的拉馬努金和^[5]。

例如，有以下級數的拉馬努金和：

1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}(\Re ).

1+1+1+1+\cdots =-{\frac {1}{2}}(\Re ).

1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}(\Re ).

黎曼可和法

稱級數a₁ + ... (R,k)(或黎曼)可和到s，指的是

\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.

Hardy (1949，4.17) 稱級數a₁ + ... R₂可和到s，指的是

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.

里斯可和法

若λ_n組成遞增的實數列，並且

A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}

則將級數a₀ + ...的里斯和(R,λ,κ)定義為

\lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.

Vallée-Poussin可和法

稱級數a₁ + ... VP(或Vallée-Poussin)可和到s，指的是

\lim _{m\rightarrow \infty }a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots =s.

Hardy (1949，4.17).

參考文獻

Arteca, G.A.; Fernández, F.M.; Castro, E.A., Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics, Berlin: Springer-Verlag, 1990 .
Baker, Jr., G. A.; Graves-Morris, P., Padé Approximants, Cambridge University Press, 1996 .
Brezinski, C.; Zaglia, M. Redivo, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991 .
Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford: Clarendon Press, 1949 .
LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J., Large-Order Behaviour of Perturbation Theory, Amsterdam: North-Holland, 1990 .
Volkov, I.I., Lindelöf summation method, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Zakharov, A.A., Abel summation method, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hazewinkel, Michiel (編), Riesz summation method, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

引用

^ Summation methods. Michon's Numericana. [2017-05-06]. （原始內容存檔於2017-06-01）.
^ Translativity. The Encyclopedia of Mathematics. Springer. [2017-05-06]. （原始內容存檔於2015-06-21）.
^ Muraev, E. B., Borel summation of n-multiple series, and entire functions associated with them, Akademiya Nauk SSSR, 1978, 19 (6): 1332–1340, 1438, MR 0515185 . Muraev注意到波萊爾可和法在兩個方向中的一個上是可移的：在級數的起始處添入零擴充這個級數，並不會改變這個級數的可和性以及可和到的值。但是他陳述道「反過來並不正確」。
^ Tao, Terence. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. 2010-04-10 [2017-05-09]. （原始內容存檔於2017-06-06）.
^ Candelpergher, B., H. Gopalkrishna Gadiyar, and R. Padma, [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Ramanujan summation and the exponential generating function ${\begin{smallmatrix}{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}\zeta ^{\prime }(-k)}\end{smallmatrix}}$ ., The Ramanujan Journal,21, no. 1 (2010): pp. 99-122.

[1] Summation methods. Michon's Numericana. [2017-05-06]. （原始內容存檔於2017-06-01）.

[2] Translativity. The Encyclopedia of Mathematics. Springer. [2017-05-06]. （原始內容存檔於2015-06-21）.

[3] Muraev, E. B., Borel summation of n-multiple series, and entire functions associated with them, Akademiya Nauk SSSR, 1978, 19 (6): 1332–1340, 1438, MR 0515185 . Muraev注意到波萊爾可和法在兩個方向中的一個上是可移的：在級數的起始處添入零擴充這個級數，並不會改變這個級數的可和性以及可和到的值。但是他陳述道「反過來並不正確」。

[4] Tao, Terence. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. 2010-04-10 [2017-05-09]. （原始內容存檔於2017-06-06）.

[5] Candelpergher, B., H. Gopalkrishna Gadiyar, and R. Padma, [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Ramanujan summation and the exponential generating function ${\begin{smallmatrix}{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}\zeta ^{\prime }(-k)}\end{smallmatrix}}$ ., The Ramanujan Journal,21, no. 1 (2010): pp. 99-122.

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