盧卡斯數

盧卡斯數是一個以數學家愛德華·盧卡斯命名的整數序列，他既研究了這個數列，也研究了有密切關係的斐波那契數。與斐波那契數一樣，每一個盧卡斯數都定義為前兩項之和，也就是說，它是一個斐波那契整數序列。兩個相鄰的盧卡斯數之比收斂於黃金分割比。

但是，最初兩個盧卡斯數是L₀ = 2和L₁ = 1，而不是0和1。所以，盧卡斯數的性質與斐波那契數的性質有些不同。

盧卡斯數可以定義如下：

L_{n}=L(n)={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}

前幾個盧卡斯數是：

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... （OEIS數列A000032）

延伸到負數

用L_n-2 = L_n - L_n-1的公式，我們可以把盧卡斯數延伸到負數。這樣我們得到以下數列：

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地，我們有

盧卡斯數與斐波那契數有以下關係：

$\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}$
$\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$ ，因此，當 $n\,$ 趨近於無窮大時， $L_{n} \over F_{n}\,$ 趨近於 ${\sqrt {5}}\,$ 。
$\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$
$\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

其中 $\varphi$ 是黃金分割比。

如果n是質數，則L_n被n除餘1，但某些合數也具有這個性質。

盧卡斯質數就是既是盧卡斯數又是質數的整數。最小的幾個盧卡斯質數為：

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... （OEIS數列A005479）

除了n = 0、4、8、16的情況外，如果L_n是質數，則n是質數。但是，它的逆命題不成立。

Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).