幾何中心
n 維空間中一個對象X的幾何中心或形心是將X分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說,它是X中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均,形心便是重心。
如果一個對象具有一致的密度,或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心,那麼它的幾何中心和質量中心重合,該條件是充分但不是必要的。
有限個點總存在幾何中心,可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。
性質
一個凸對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部,比如一個環或碗的幾何中心不在內部。
三角形的中心
形心是三角形的幾何中心,是指三角形的三條中線(頂點和對邊的中點的連線)交點[1]。
三條中線共點證明
用塞瓦定理逆定理可以直接證出:
因此三線共點。[2]
中心分每條中線比為2:1,這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的1/3。如右圖所示:
如果三角形是由均勻材料做成的薄片,那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾坐標是三個頂點的坐標算術平均值。也就是說,如果三頂點位於,,和,那麼幾何中心位於:
中心分中線為2:1的證明
設三角形ABC的中線AD,BE和CF交於三角形的中心G,延長AD至點O使得
那麼三角形AGE和AOC 相似(公共角A,AO = 2 AG,AC = 2 AE),所以OC平行於GE。但是GE是BG的延長,所以OC平行於BG。同樣的,OB平行於CG。
從而圖形GBOC是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分,對角線GO和BC的交點使得GD = DO,這樣
所以,,或,這對任何中線都成立。
性質
- 三角形的重心與三頂點連線,所形成的三個三角形面積相等。
- 頂點到重心的距離是中線的。
- 外心、重心、九點圓圓心、垂心四點依次序共線,其中,此線稱為歐拉線。
- 內心、重心、斯俾克心、奈格爾點四點依次序共線,其中,此線稱為奈格爾線。
- 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
- 在直角座標系中,若頂點的座標分別為、、,則重心的座標為:
- 三線坐標中、重心的座標為:
- 重心坐標中、重心的座標為:
四面體的中心
類似三角形的中心的結論對四面體也成立,四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成3:1。這個結論能自然推廣到任何-維單形。如果單形的頂點集是,將這些頂點看成向量,幾何中心位於:
多邊形的中心
一個由N個頂點(xi , yi)確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算:[3]
記號( xN , yN)與頂點( x0 , y0)相同。多邊形的面積為:
多邊形的中心由下式給出:
有限點集的中心
給定有限點集 屬於,它們的中心定義為
- 。
面積中心
面積中心和質量中心非常類似,面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的,質量中心將位於面積中心。[4]
對於兩部分組成的圖形,將有如下等式:
是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。是特定部分的面積。
當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時,先計算各部分的面積中心,然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心:
這裏從y-軸到中心的距離是,從x-軸到中心的距離是,中心的坐標是。
積分公式
一個平面圖形的中心的橫坐標(x軸)由積分
- 給出。
這裏f(x)是對象位於在橫坐標x點y軸上的長度,是在x圖形的測度。這個公式能由區域關於y-軸的第一矩得出。
這個過程等價於取加權平均。假設y-軸表示頻率,x-軸表示欲求平均值的變量,那麼沿着x-軸的中心即 。從而中心可以想像成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。
對任意維數n,由相同的公式得出中一個對象的中心第一個坐標,假設f (x)是對象在坐標x的截面(也就是說,對象中第一個坐標為x的所有點的集合)的(n-1)-維測度。
注意到分母恰是對象的n- 維測度。特別的,在f為正規時,即分母為1,中心也稱為f的平均。
當對象的測度為0或者積分發散,這個公式無效。
圓錐和稜錐的中心
圓錐或稜錐的中心位於連接頂點和底的中心的線段上,分比為3:1。
對稱中心
如果中心確定了,那麼中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心,取決於對稱的種類。另外可以知道,如果一個對象具有傳遞對稱性,那麼它的中心是不確定的或不在內部,因為一個傳遞變換群沒有不動點。
地理中心
參見
參考文獻
- ^ 幾何原本ISBN 957-603-016-1
- ^ 幾何明珠ISBN 957-603-197-4
- ^ Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. (原始內容存檔於2008-10-16).
- ^ Area Centroid. [2008-10-16]. (原始內容存檔於2008-10-20).
外部連結
- Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
- Triangle centers(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- Characteristic Property of Centroid(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at cut-the-knot
- Barycentric Coordinates(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at cut-the-knot
- Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- Interactive animations showing Centroid of a triangle(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) and Centroid construction with compass and straightedge(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)