全序關係

全序關係，也稱為線性順序（英語：Total order, linear order）即集合$X$上的反對稱的、遞移的和完全的二元關係（一般稱其為$\leq$）。

若$X$滿足全序關係，則下列陳述對於$X$中的所有$a,b$和$c$成立：

• 反對稱性：若$a\leq b$且$b\leq a$則$a=b$
• 遞移性：若$a\leq b$且$b\leq c$則$a\leq c$
• 完全性：$a\leq b$或$b\leq a$

滿足全序關係的集合叫做全序集合、線性序集合、簡單序集合或鏈。 鏈還常用來描述偏序集合的全序子集。

全序關係的完全性可以如下這樣描述：集合中的任何一對元素都是可相互比較的。

注意完全性條件蘊涵了自反性：$a\leq a$，因此全序關係也是（滿足「完全性」條件的）偏序關係。

嚴格全序

對於每一（非嚴格）全序關係≤都有一關聯的非對稱的嚴格全序關係<，它可以用以下兩種等價的方式定義：

• $a<b$當且僅當$a\leq b$且$a\neq b$
• $a<b$當且僅當$\neg (b\leq a)$（即$>$為$\leq$的逆補關係）

性質：

• 遞移性：$a<b$且$b<c$蘊涵$a<c$。
• 三一性：$a<b$, $b<a$和$a=b$中有且僅有一個成立。
• 弱序性：其中關聯的等價是相等的。

我們可以通過指定$<$為三分二元關係，用這兩種等階的方式來定義全序$\leq$：

• $a\leq b$當且僅當$a<b$或$a=b$
• $a\leq b$當且僅當$\neg (b<a)$

另兩個關聯的關係是補關係$\geq$和$>$，它們構成了四元組$\{<,>,\leq ,\geq \}$。

我們可以用這四個關係中的任何一個來定義全序集，符號指明了全序集的嚴格性。

例子

• 字典序的字母表，比如$A<B<C$等等。
• 全序集的任何保持原次序不變的子集。
• 滿足完全性的偏序集。
• 基數或序數集（嚴格地說，它們都是良序集）。
• 若$X$為任何集合，$f$為$X$到一全序集的單射，則$f$誘導$X$為$x_{1}<x_{2}$當且僅當$f(x_{1})<f(x_{2})$的全序集。
• 有序數的全序集的直積的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何單詞表——長為$n$的單詞可視為字母表集合的直積自乘$n$次所得結果集合中的元素。
• 擁有小於（$<$）和大於關係（$>$）的實數集是全序的，因此其子集（自然數集、整數集、有理數集等）均為全序集。
  • 自然數集是最小的無上界全序集。
  • 整數集是最小的無界全序集。
  • 有理數集是最小的無界稠密全序集。
  • 實數集是最小的無界連通全序集。

參見

• 二元關係
• 偏序關係

引用

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4