位置的高階導數

物理學上，位置的高階導數，是位移對時間的四階以上對時間的導數；一階、二階、三階、四階導數分別稱為速度、加速度、加加速度、加加加速度……。在英語中，位移對時間的四階，五階，六階導數有時候有點滑稽地被稱為 "Snap," "Crackle" and "Pop"。

定義

四階導數被如下任意一個等價的公式定義：

${\vec {s}}={\frac {d{\vec {j}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}$

五階導數被如下任意一個等價的公式定義：

${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$

更高階的導數亦可依此類推。其中：

${\vec {c}}$ 是加加加加速度,

${\vec {s}}$ 是加加加速度,

${\vec {j}}$ 是加加速度,

${\vec {a}}$ 是加速度,

${\vec {v}}$ 是速度,

${\vec {r}}$ 是位移,

${\mathit {t}}$ 是時間。

勻加加加速運動公式

下列公式被用於加加加速度恆定的運動：

• $j=j.+st$
• $a=a.+j.t+{\frac {1}{2}}st^{2}$
• $v=u+a.t+{\frac {1}{2}}j.t^{2}+{\frac {1}{6}}st^{3}$
• $S=ut+{\frac {1}{2}}a.t^{2}+{\frac {1}{6}}j.t^{3}+{\frac {1}{24}}st^{4}$

其中：

${\vec {s}}$ 是恆定的加加加速度,

${\vec {j}}.$ 是初加加速度，

${\vec {j}}$ 是末加加速度，

${\vec {a}}.$ 是初加速度，

${\vec {a}}$ 是末加速度，

${\vec {v}}$ 是初速度，

${\vec {u}}$ 是末速度，

${\vec {S}}$ 是距離或位移，

${\vec {r}}$ 是位置，

${\mathit {t}}$ 是時間。

記號

目前沒有通用的記號來表示這些高階導數。國際單位制中，加加加速度的單位是m/s⁴, m · s⁻⁴。符號 ${\vec {s}}$ (用於 ) 不可與可記作同個記號的位移向量混淆。

有關連結

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.
• What is the term used for the third derivative of position?