三角化八面體

小三角化八面體圖
小三角化八面體圖
度分佈	3 (8個); 8 (6個)
頂點	14
邊	36
半徑	2
直徑	3
圍長	3
色數	4
對偶圖	截角立方體圖
屬性	平面, 可積（英語：Integral graph）
	閱; 論; 編;

三角化八面體
	; （點選檢視旋轉模型）
類別	卡塔蘭立體
對偶多面體	截角立方體
識別
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tikko
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	dt{4,3}
康威表示法	kO; dtC
性質
面	24
邊	36
頂點	14
歐拉特徵數	F=24, E=36, V=14 （χ=2）
二面角	147°21′00″; arccos(−3 + 8√2/17)
組成與佈局
面的佈局; （英語：Face configuration）	V3.8.8; 等腰三角形
頂點佈局; （英語：Vertex_configuration）	8{3}+6{8}
對稱性
對稱群	Oh（英語：Octahedral symmetry）, B3, [4,3], (*432)
旋轉對稱群; （英語：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
	凸、面可遞
圖像
; 截角立方體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，三角化八面體又稱三角三八面體^[1]^[2] 是一種卡塔蘭立體，其對偶多面體為截角立方體^[3]^[4]，可以視為在正八面體每個面上加入三角錐的結果^[5] ，但由於有另一種多面體也是由正八面體每個面上加入三角錐的結果，為大三角化八面體，差別在於大三角化八面體是向內加入角錐^[6]，而此多面體向外加入角錐，為了區別兩者差異，因此有時也會稱此多面體為小三角化八面體^[4]。

在礦物學中，這種形狀又稱為三八面體^[2]（英語：trisoctahedron^[7]^[8]^[4]），部分的礦石可以結晶成這種形狀^[9]，例如螢石^[10]。

性質

三角化八面體是一個卡塔蘭立體，為阿基米德立體——截角立方體的對偶多面體^[4]，因此具有面可遞的性質。

三角化八面體是一種二十四面體^[4]，由24個面、36條邊和14個頂點組成^[11]，其中24個面為全等的等腰三角形，頂點可分為2種，一種為8個等腰三角形的公共頂點，另一種為3個等腰三角形的公共頂點。

三角化八面體可以視為將正八面體各個面從中心切割成3個等腰三角形所形成的多面體^[12]。

三角化八面體是菱形（正方形傾斜四十五度）四邊各加一個等腰三角形拼成的正八邊形在立體幾何中的推廣。

體積與表面積

一個最短邊長為1的三角化八面體，它的表面積為 $3{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}$ ，體積為 ${\frac {1}{2}}(3+2{\sqrt {2}})$ ^[4]。

面的組成

三角化八面體由24個全等的等腰三角形組成。

組成三角化八面體的等腰三角形的2個底角為arccos $\scriptstyle {\left({\tfrac {\sqrt {2}}{4}}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$ 約為31.4°^[13]，由三角形內角關係可知頂角約為117.2°^[14]^[13]，邊長比為1:1: ${\begin{matrix}{\frac {2+{\sqrt {2}}\ }{2}}\end{matrix}}$ ^[15]^[13]。

頂點坐標

若一個三角化八面體最短邊長為2且幾何中心位於原點，則其頂點坐標為^[16]：

\left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\right)

\left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\,,\quad 0\,,\quad 0\right)

\left(0\,,\quad \pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\,,\quad 0\right)

\left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)

正交投影

三角化八面體有3個特殊的正交投影，分別為於稜上投影、於8個等腰三角形的公共頂點上投影和於3個等腰三角形的公共頂點上投影。

正交投影
投影對稱性	[2]	[4]	[6]
三角化八面體
截角立方體

球面鑲嵌

三角化八面體也可以表示為球面鑲嵌，也可以透過施萊格爾投影（英語：Schlegel diagram），於平面上呈現。而其施萊格爾投影的結果在圖論中是一種阿基米德對偶圖^[17]，稱為小三角化八面體圖^[18]。

平行投影	施萊格爾投影（英語：Schlegel diagram）

使用

三角化八面體出現在部分的藝術創作中，例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作^[19]。部分小說也有使用三角化八面體進行創作，如休伊·庫克（英語：Hugh Cook）的系列小說《黑暗時代的編年史（英語：Chronicles_of_an_Age_of_Darkness）》中的《希望之石與奇蹟工人（英語：Chronicles of an Age of Darkness#The Wishstone and the Wonderworkers）》。除了藝術創作外，常見文化也有關於三角化八面體的使用，例如部分的魔術方塊和骰子之外型。

相關多面體與鑲嵌

三角化八面體可以經由八面體透過三角化變換構造，即將正八面體每個面貼上三角錐來獲得。其他也是由正八面體透過康威變換得到的多面體有：

半正正八面體家族多面體
對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]⁺, (432)	[1⁺,4,3], (*332)	[4,3⁺], (3*2)


{4,3}	t_0,1{4,3}	t₁{4,3}	t_1,2{4,3}	{3,4}	t_0,2{4,3}	t_0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h_1,2{4,3}
半正多面體的對偶


V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

三角化八面體是由等腰三角形組成，且對偶多面體由正八邊形與正三角形交錯組成。同樣由等腰三角形組成，且對偶多面體由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括：

*n32變異對稱性的截角鑲嵌（英語：Template:Truncated figure1 table）: 3.2n.2n
對稱性 *n32 [n,3]	球面鑲嵌（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）				歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲		非緊雙曲
對稱性 *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
截角鑲嵌
頂點（英語：Vertex configuration）	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14（英語：Truncated_heptagonal_tiling）	3.16.16（英語：Truncated octagonal tiling）	3.∞.∞（英語：Truncated order-3 apeirogonal tiling）
三角化鑲嵌
頂點（英語：Vertex configuration）	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14（英語：Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.16.16（英語：Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.∞.∞（英語：Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling）

類似前面提到的概念，三角化八面體是由等腰三角形組成，且對偶多面體由正八邊形與正三角形交錯組成。同樣由等腰三角形組成，且對偶多面體由正八邊形與其他正多邊形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括：

*n42變異對稱性的截角鑲嵌: n.8.8
對稱性 *n42（英語：Orbifold notation） [n,4]	球面鑲嵌（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）		歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲鑲嵌				仿緊雙曲鑲嵌
對稱性 *n42（英語：Orbifold notation） [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
截角圖
頂點（英語：Vertex configuration）	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8（英語：Truncated order-5 square tiling）	6.8.8（英語：Truncated order-6 square tiling）	7.8.8（英語：Truncated order-7 square tiling）	8.8.8	∞.8.8（英語：Truncated infinite-order square tiling）
n-角化圖
頂點（英語：Vertex configuration）	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

其他三角化八面體

三角化八面體一般是指截角立方體的對偶多面體，但三角化八面體一詞原意應為「三角化後的八面體」，換句話說，即在八面體的面上加入三角錐的多面體也可以稱為三角化八面體。

角錐高度增加	圖像
	種類	三角化八面體	菱形十二面體		星形八面體
	加入錐高（正八面體邊長1）	+0.099 $\scriptstyle {{\sqrt {3}}-{\tfrac {2{\sqrt {6}}}{3}}}$ ^[4]	+0.289 $\scriptstyle {\tfrac {\sqrt {3}}{6}}$	+0.5	+0.816 $\scriptstyle {\tfrac {\sqrt {6}}{3}}$ ^[20]	+1.5
	說明	加入角錐至側面等角	加入角錐至側面共面	加入角錐使之成為凹多面體	加入正四面體^[20]
角錐高度減少允許負值（向內加入）	圖像
	種類	三角化八面體	正八面體	凹三角錐八面體		大三角化八面體
	加入錐高（正八面體邊長1）	+0.099 $\scriptstyle {{\sqrt {3}}-{\tfrac {2{\sqrt {6}}}{3}}}$	0	-0.408 $\scriptstyle {-{\tfrac {\sqrt {6}}{6}}}$	-1	-1.394 $\scriptstyle {-{\tfrac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}}{3}}}$
	說明	加入角錐至側面等角	原始形狀	向內加入角錐錐尖抵達幾何中心	向內加入角錐錐尖從另一側凸出

大三角化八面體

大三角化八面體的是一個拓樸結構與三角化八面體相同的多面體。三角化八面體是由正八面體的每個面上加入角錐構成，而大三角化八面體則是在正八面體的每個面中加入穿過對面的面的倒角錐而成^[6]，這種在面上加入倒角錐的做法使其與三角化八面體有一樣的拓樸結構，幾何上的差異在於，大三角化八面體和三角化八面體一個是向外加入角錐^[21]、一個是向內加入角錐。

星形八面體

星形八面體一般是指由兩個正四面體組合成的複雜多面體，複雜多面體是指該多面體有出現面與面相交的多面體，而簡單多面體則是面與面沒有自相交情況的多面體。對於與星形八面體外形相同的簡單多面體則也可以視為在正八面體每個面階貼上三角錐的結果，其貼上的三角錐為正四面體^[20]。

這樣子的組合也可以看做是正八面體四維錐（英語：Octahedral pyramid）的展開圖^[22]。

小三角化八面體圖

在圖論的數學領域中，與三角化八面體相關的圖為小三角化八面體圖（Small Triakis Octahedral Graph），是三角化八面體之邊與頂點的圖（英語：1-skeleton）^[18]，是一個阿基米德對偶圖^[17]。

性質

小三角化八面體圖有36條邊和14個頂點，其中度為3的頂點有8個；度為8的頂點有6個。

參考文獻

Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 17, Triakisoctahedron)
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis octahedron)

^ Clipart tagged: ‘forms’. etc.usf.edu. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-08-28）.
^ ^2.0 ^2.1 三八面體 triakisoctahedron (trisoctahedron). 國家教育研究院. [2018-08-27]. （原始內容存檔於2018-08-28）.
^ Catalan Solids: Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-02-01）.
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 ^4.6 Weisstein, Eric W. (編). Small Triakis Octahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Triakis Octahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-08-28）.
^ ^6.0 ^6.1 Weisstein, Eric W. (編). 大三角化八面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Correns, C. W. Einführung in die Mineralogie (Kristallographie und Petrologie). Berlin: Springer-Verlag. 1949: p. 41.
^ Berry, L. G. and Mason, B. Mineralogy: Concepts, Descriptions, Determinations. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1959., p. 127
^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-08-31）.
^ 高田雅介著. 日本産鉱物の結晶形態 : 高田鉱物標本・結晶図集. 今井裕之. 2010年4月（日語）.
^ triakisoctahedron. bulatov.org. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2017-12-06）.
^ geomzome. 三方八面体　The Triakisoctahedron [3,8,8]. 2009-12-26 [2018-08-30]. （原始內容存檔於2016-07-25）.
^ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Triakis octahedron. fillygons.ch. [2018-08-30]. （原始內容存檔於2018-08-30）.
^ Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach. The Dome series. University of California Press: 43. 1976 [2018-08-30]. ISBN 9780520030565. LCCN 74027297. （原始內容存檔於2019-06-29）.
^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. 2002: 2732-2733. ISBN 9781420035223. ^{[失效連結]}
^ Data of Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-30]. （原始內容存檔於2017-10-31）.
^ ^17.0 ^17.1 Weisstein, Eric W. (編). Small Archimedean Dual Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^18.0 ^18.1 Weisstein, Eric W. (編). Small Triakis Octahedral Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Forty, S. M.C. Escher. Cobham, England: TAJ Books, 2003.
^ ^20.0 ^20.1 ^20.2 Weisstein, Eric W. (編). Stella Octangula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Triakis octahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o4o - oct. bendwavy.org.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. Triakis octahedron. MathWorld. 、埃里克·韋斯坦因. Catalan solid. MathWorld.
Triakis Octahedron – Interactive Polyhedron Model
Virtual Reality Polyhedra（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
- VRML model（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- Conway Notation for Polyhedra（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Try: "dtC"

[3] Clipart tagged: ‘forms’. etc.usf.edu. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-08-28）.

[triakisoctahedron_(trisoctahedron)-4] 2.0 ^2.1 三八面體 triakisoctahedron (trisoctahedron). 國家教育研究院. [2018-08-27]. （原始內容存檔於2018-08-28）.

[dmccooey-5] Catalan Solids: Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-02-01）.

[SmallTriakisOctahedron,Mathworld-6] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 ^4.6 Weisstein, Eric W. (編). Small Triakis Octahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[rechneronline.de-7] Triakis Octahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2018-08-28）.

[GreatTriakisOctahedron.mathworld-8] 6.0 ^6.1 Weisstein, Eric W. (編). 大三角化八面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[9] Correns, C. W. Einführung in die Mineralogie (Kristallographie und Petrologie). Berlin: Springer-Verlag. 1949: p. 41.

[10] Berry, L. G. and Mason, B. Mineralogy: Concepts, Descriptions, Determinations. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1959., p. 127

[11] 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-08-31）.

[12] 高田雅介著. 日本産鉱物の結晶形態 : 高田鉱物標本・結晶図集. 今井裕之. 2010年4月（日語）.

[13] triakisoctahedron. bulatov.org. [2018-08-28]. （原始內容存檔於2017-12-06）.

[14] zome. 三方八面体　The Triakisoctahedron [3,8,8]. 2009-12-26 [2018-08-30]. （原始內容存檔於2016-07-25）.

[fillygons-15] 13.0 ^13.1 ^13.2 Triakis octahedron. fillygons.ch. [2018-08-30]. （原始內容存檔於2018-08-30）.

[book_pugh1976polyhedra-16] Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach. The Dome series. University of California Press: 43. 1976 [2018-08-30]. ISBN 9780520030565. LCCN 74027297. （原始內容存檔於2019-06-29）.

[book_weisstein2002crc-17] Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. 2002: 2732-2733. ISBN 9781420035223. ^{[失效連結]}

[18] Data of Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-30]. （原始內容存檔於2017-10-31）.

[ArchimedeanDualGraph,Mathworld-19] 17.0 ^17.1 Weisstein, Eric W. (編). Small Archimedean Dual Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[SmallTriakisOctahedralGraph,Mathworld-20] 18.0 ^18.1 Weisstein, Eric W. (編). Small Triakis Octahedral Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[21] Forty, S. M.C. Escher. Cobham, England: TAJ Books, 2003.

[StellaOctangula.mathworld-22] 20.0 ^20.1 ^20.2 Weisstein, Eric W. (編). Stella Octangula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[23] Weisstein, Eric W. (編). Triakis octahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[24] Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o4o - oct. bendwavy.org.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]