用戶:A05945z1/微積分歷史

微積分是一門研究無窮小的計算的學問，專注於對極限、函數、微分、積分和無窮級數的研究。 十七世紀中期，由艾薩克·牛頓和哥特佛萊德·萊布尼茲同時並且獨立發展了這門學問，但因雙方的支持者皆有宣稱對方剽竊其研究成果，而引發微積分起源爭議的論戰。

微積分的前身

古代

阿基米德利用不斷逼近的方法計算一個圓內的面積

微積分中積分的一些概念在古代就已經被提出，但是這些概念沒有被建構成嚴謹而有系統性的理論。

從古埃及數學中的文物莫斯科數學莎草紙(西元前1820年)的記載中可以發現當時研究積分的一個目的是計算體積和面積，但是這些公式只適用於一些數字，有些公式只能求出近似值，而且不是用推論演繹的方式導出結果。

巴比倫人可能在進行木星觀測時就已經發現了梯形公式。

從希臘時代開始，歐多克索斯（公元前408-355）使用窮竭法奠基了極限的概念，並用以計算面積和體積，而阿基米德（公元前287-212）進一步發展了這個想法，發明類似於積分的啟發法。希臘數學家也大量使用無窮小量的概念，然而此時期無窮小的概念可以被理解成還未建立在嚴格的基礎上，因為只有可以被幾何證明支持的論點，才是當時希臘數學家廣為接受的。德謨克利特是記載中第一個思考如何將物體劃分為無限多個截面的人，但最終無法說服自己接受這個想法。大約在同一時間，埃利亞的芝諾提出了芝諾悖論，進一步質疑無窮小的概念。

中世紀

公元四世紀，劉輝提出一套新的窮竭法用於近似圓，而後由祖沖之及祖暅之發展成可求出球體體積的祖暅原理。在中東，海什木也利用他導出的四次方數的公式計算拋物面的體積。十四世紀時，印度數學家Madhava of Sangamagrama和喀拉拉邦天文及數學學院提出了微積分組成中的重要概念，例如泰勒級數和無窮級數的近似。然而此時還無法將微分和積分相互連結，將微積分發展成今日強大的解決問題工具。

近代

自然對數是雙曲線$\ f(t)\ =\ {\frac {1}{t}}\$下，從$t=1\$到$t=x\$之間所形成的面積

十七世紀，歐洲數學家伊薩克·巴羅、勒內·笛卡兒、皮埃爾·德·費馬、布萊茲·帕斯卡、約翰·沃利斯等人討論了導數的概念。特別是皮埃爾·德·費馬所發展的，用於判斷曲線上的最大、最小值以及切線的，非常接近現今微分的方法。艾薩克·牛頓後來寫到，自己關於微積分的早期靈感是源自於「費馬繪製切線的方式」。

伊薩克·巴羅給出了第一個微積分基本定理的完整證明。

建立一個實數函數的微積分，其中一個先決條件是找到有理函數$\ f(x)\ =\ {\frac {1}{x}}\$的反導數，該問題也可被表示成$\ xy=1$。1647年，Grégoire de Saint-Vincent指出反導數$F$滿足$F(st)=F(s)+F(t)$的性質，使得在函數$F$之下，等比數列可表成等差數列的形式。A. A. de Sarasa將此特徵用於稱為「對數」的當代演算法，將乘法轉換成加法以簡化算術過程。因此$F$最開始是以「雙曲線對數」的名稱為人所知。從李昂哈德·歐拉發展了$e=2.71828...$之後，$F$被確定是指數函數的反函數，自此之後$F$被稱為自然對數，滿足${\frac {dF}{dx}}\ =\ {\frac {1}{x}}$

羅爾定理的第一個證明是由米歇爾·羅爾在1691年提出，使用了荷蘭數學家Johannes Hudde的方法。現代形式的中間值定理也在現代微積分建立之後由伯納德·波爾查諾和奧古斯丁·路易·柯西給出明確闡述。其他如伊薩克·巴羅和克里斯蒂安·惠更斯等其他數學家也有許多重要貢獻。

牛頓和萊布尼茲

艾薩克·牛頓

哥特佛萊德·萊布尼茲

在牛頓和萊布尼茲之前，「微積分」這個詞分別在一些數學領域被提及討論，但在牛頓和萊布尼茲發展微積分的幾年之中，「微積分」成為描述由他們的見解所建構的數學新領域的流行名詞。牛頓和萊布尼茲在十七世紀後期分別獨立發展了關於無窮小量的周邊理論，其中萊布尼茲致力於發展一致且好用的符號和概念，牛頓則為物理學提供了一些非常重要的應用。 此節描述牛頓和萊布尼茲對微積分(無窮小的計算)的研究和發展，特別是他們用以理解微積分的解釋和術語。

牛頓所發展的微積分是他在物理學和幾何學的研究下的一部分，他將微積分視為運動和大小的科學描述。相較之下，萊布尼茲專注於切線問題，並相信微積分是對變化的形而上學解釋。重要的是，他們的見解形式化了微分和積分函數之間的可逆性，雖然已經有不少前人提出相同的觀點，但他們是首先將微積分視為一個新系統，並提出新的術語和解釋的人。

牛頓

牛頓沒有以任何正式的形式出版他的流數微積分，他的許多數學發現都是透過通信、短文或在其他由他彙編的著作中稍微提及，例如《自然哲學的數學原理》和《光學》。牛頓開始接受數學訓練是從他被指定為劍橋大學的伊薩克·巴羅的接班人之後，他很快的就掌握了當代的定理，並且能力也獲得認可。1664年，牛頓在二項式定理的發展上給出了他的第一個重要貢獻：透過利用有限代數進行無窮級數的分析，將二項式定理擴展到分數和負數指數上。這個貢獻提出一個看待無窮級數的新思維，即不只將無窮級數當成一個近似的工具，還可以用來做為一個數或代數的不同表達形式。

牛頓在1665到1666年間有許多重要貢獻，也因此他將這段時間形容為「我一生中發明和思考數學以及自然哲學的黃金時期」，這段期間他將流數微積分的概念寫在他未出版的文章《用無窮級數分析》中。在這篇文章中，牛頓提出透過計算曲線上的瞬時變化率來得到曲線下的面積，此時他已經意識到微分和積分的重要關係，即微積分基本定理，但礙於當時邏輯上的限制，牛頓因此聲明他的推導只是一個簡短的解釋，並不是完整而精確的證明。

牛頓在1671年編寫了《流數法》，為微積分提出更嚴謹的解釋和框架。此書中他用數學作為解釋物理世界的工具，非正式的使用瞬時運動和無窮小的概念，使用嚴格的經驗主義定義和建構了流數微積分。他針對連續運動重新定義了他的計算，對牛頓來說，一個變量不是由其無窮小的元素所組成，而是由「運動」這個鐵的事實產生的。和他許多其他成果一樣，《流數法》直到1736年才被發表。

牛頓試圖將計算建構在變化率上來避免使用無窮小，在《流數法》中，他定義產生變化率的對象為變量(英語: fluent)；產生的變化率為流數(英語: fluxion)，以在變量上加一個點表示，例如：若$x$是變量，則${\dot {x}}$為$x$的流數。