T-標準化

在統計學中，對一個樣本統計量進行t-標準化（studentization，或直譯為「學生化」）一般是指將其中心化之後，除以自身的標準差的變換方式。

廣義的t-標準化，是指用其他樣本矩來除該統計量。

t-標準化與標準化（standarization）最重要的區別是，標準化用真實的總體參數作除數，而t-標準化用可以觀測到的樣本統計量作除數。一般而言，標準化需要假設較多的已知信息。

例子

• 在對位置-尺度參數族的分佈之總體均值進行估計的時候，經常用尺度參數的估計量來標準化位置參數的估計量。

例如，在估計正態分佈 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ 的位置參數 $\mu$ 時，常用尺度參數 $\sigma$ 的估計量來t-標準化位置參數的估計量，即：

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$

其中 $S$ 是樣本方差，注意應該用 $S/{\sqrt {n}}$ 整體（又稱「標準誤差」）而不是 $S$ 來估計 ${\bar {X}}$ 的標準差。在這個例子裏，如果對 $\mathbb {E} [({\bar {X}})^{3}]$ 進行估計，並估計量的立方根代替 $T$ 之表達式中的 $S/{\sqrt {n}}$ ，那麼就做成一個廣義的t-標準化。如果用真實的 $\sigma$ 代替 $S$，那麼就做成一個標準化。

• 對一般的參數估計，也可以進行t-標準化，例如總體分佈具有參數 $\theta$ ，這裏 $\theta$ 既可以是一個參數模型的參數，例如 Exp$(\lambda )$ 中的 $\lambda$ ，也可以是一個非參數模型的泛函，例如一個所有矩存在的非參數模型的總體平均、總體方差等，可以考慮如下的t-標準化：

$T={\frac {{\hat {\theta }}-\theta }{\sqrt {{\widehat {\mathrm {V} ar}}({\hat {\theta }})}}}$

分母的平方是對 ${\mathrm {V} ar}({\hat {\theta }})$ 的良好估計，這個估計一般不容易得到，通行的做法是用一個經過仔細設計的重抽樣方法做這個方差估計，例如Bootstrap、Jackknife等。

意義

t-標準化具有以下重要意義：

• 標準化所得到的估計量，其分佈不再、或更少地依賴於總體分佈的尺度參數。這樣可以方便地進行統計推斷，例如設計置信區間和統計檢驗。

• 在Bootstrap方法中，t-標準化具有特殊的重要意義。對經過t-標準化的統計量進行bootstrap，以更高階的精確度對被估計的參數進行統計推斷（如更精確地控制置信區間的置信水平，及更好地控制統計檢驗中的第一類錯誤概率），而對未經標準化的統計量直接進行bootstrap則只能有低階精確度的統計推斷。

不足

• 一般來說，t-標準化需要一個能夠很好地估計待標準化統計量某個矩的估計量，設計這個估計量有時是很困難的，例如：觀測到的是網絡數據、或觀測量間不是互相獨立的（例如時間序列數據）。

• 除開簡單的例子（例如正態分佈），t-標準化後的統計量，其分佈未必是容易計算或逼近的。