PSL(2,7)

數學上，射影特殊線性群 PSL (2,7)（同構於 GL(3,2)）是一個有限單群，在代數、幾何和數論中有重要應用。 它是Klein四次曲線的自同構群，也是Fano平面的對稱群。 具有168個元素的 PSL (2,7) 是繼交錯群 A₅（5文字的對稱群的子群，有60個元素，同構於正二十面體的旋轉對稱群，也同構於 PSL (2,5)）之後第二小的非阿貝爾單群。

定義

一般線性群 GL (2,7) 由 F₇（七元素的有限域）上所有可逆的二階方陣組成。它們的行列式不為零。子群 SL (2,7) 包含所有行列式為單位的矩陣。PSL (2,7) 則定義為在

SL(2, 7)/{I, −I}

上視 I 和 -I 等同得到的商群，其中 I 是單位矩陣。 在本文中，我們用 G 表示任一與 PSL (2,7) 同構的群。

性質

G = PSL(2, 7) 有 168 個元素，這可通過統計可能的列數得到：第一列有7²−1 = 48 種可能，第二列有 7²−7 = 42。為使行列式為 1，必須再除以 7−1 = 6，又因視 I 和 -I 為等同，必須再除以 2，結果是 (48×42)/(6×2) = 168.

有一個普遍的結果，即 PSL(n, q) 是單群當 n, q ≥ 2 (q 是某質數之冪), 除非 (n, q) = (2, 2) or (2, 3). PSL(2, 2) 同構於對稱群 S₃, 而 PSL(2, 3) 同構於交錯群 A₄. 實際上，PSL(2, 7) 是第二小的非阿貝爾單群，僅次於交錯群 A₅ = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

共軛類和不可約表示的個數是 6。共軛類的大小分別是 1, 21, 42, 56, 24, 24。不可約表示的維數分別是 1, 3, 3, 6, 7, 8.

特徵標表

${\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},$

這裏：

$\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.$

下表按類中元素的階、類的大小、每個代表元在 GL(3, 2) 中的最小多項式和一個代表元在 PSL(2, 7) 中的函數表示描述各個共軛類。注意類 7A 在 7B 在一個自同構下互換，因此出自 GL(3, 2) 和 PSL(2, 7) 的代表元可任意切換。

階	大小	最小多項式	函數
1	1	x+1	x
2	21	x2+1	−1/x
3	56	x3+1	2x
4	42	x3+x2+x+1	1/(3−x)
7	24	x3+x+1	x + 1
7	24	x3+x2+1	x + 3

群的階是 168=3×7×8，因此必有 3，7，8 階的 Sylow 子群。頭兩個容易描述，它們是循環群，因為任何質數階群是循環群。共軛類 3A₅₆ 中任一元素生成 Sylow 3-子群。共軛類 7A₂₄, 7B₂₄ 中任一元素生成 Sylow 7-子群。Sylow 2-子群是八階二面體群。它可以描述為共軛類 2A₂₁ 中任一元素的中心化子_。 在用 GL(3, 2) 表示時，任一 Sylow 2-子群由上三角矩陣組成。

該群及其 Sylow 2-子群提供了多個正規 p-補定理在 p = 2 情形時的反例。

在射影空間上的作用

G = PSL(2, 7) 通過分式線性變換作用在七元域上的射影直線 P¹(7) 上：

${\mbox{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(2,7){\mbox{ and }}x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$

P¹(7) 的任一保定向的自同構均由此產生，而也因此 G = PSL(2, 7) 在幾何上可以考慮作射影直線 P¹(7) 的對稱群；整個可能的保定向的射影直線自同構群卻是它的 2 階擴張 PGL(2, 7)，而這個射影直線的直射變換群則是整個點的對稱群。

但是， PSL(2, 7) 亦同構於 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2))，二元域上三階方陣的特殊（一般）線性群。以相似的方式， G = PSL(3, 2) 作用在二元域上的射影平面 P²(2) —— 或叫Fano 平面上：

${\mbox{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2){\mbox{ and }}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

同樣，任一 P²(2) 的自同構由此產生，G = PSL(3, 2) 可視為該射影平面的對稱群。Fano 平面可用於描述八元數的乘法，因此 G 在八元數的乘法表上也有一個作用。

Klein 四次曲面的對稱群

Klein 四次曲面可以實現為3階正七邊形鑲嵌的商曲面。

對偶地，Klein 四次曲面 可以實現為7階三角形鑲嵌之商曲面。

Klein 四次曲面是是在複數域 C 上按下面的四次多項式定義的射影簇：

x³y + y³z + z³x = 0.

這是一個虧格 g=3 的緊黎曼面，也是僅有的使共形自同構群的大小達到最大值 84(g−1) 的緊黎曼面。這個界是因為 Hurwitz 自同構定理，該定理對所有 g>1 成立。這樣的「Hurwitz 曲面」很稀少；下一個存在這樣曲面的虧格數為 g = 7，再下一個是 g = 14。

如同所有的 Hurwitz 曲面，Klein 四次曲線可以給定一個常負曲率的度量，並以正 (雙曲的) 七邊形鑲嵌，作為3階七邊形鑲嵌之商，而曲面作為 Riemann 面或代數曲線的自同構也就是鑲嵌的自同構。對於 Klein 四次曲面來說，這會得到一個 24 個七邊形構成的鑲嵌，因此群的階為 24 × 7 = 168. 對偶地，它可以用 56 個等邊三角形鑲嵌，共計 24 個頂點，每個頂點度數為 7，成為7階三角形鑲嵌之商。

Klein 四次曲面在數學的多個領域都有出現，包括表示論、同調論、八元數乘法、Fermat 大定理和具有類數 1 的虛二次數域上的Stark 定理。

Mathieu 群

PSL(2, 7) 是 Mathieu 群 M₂₁ 的極大子群。Mathieu 群 M₂₁ 和 M₂₄ 可由 PSL(2, 7) 作擴張得到。這些擴張可以用 Klein 四次曲面的鑲嵌的語言解釋，但不能通過鑲嵌的幾何對稱實現。

群作用

PSL(2,7) 作用在多種集合上：

• 解釋為 F₇ 上射影直線的線性自同構，它在一個 8 點集上的作用是 2-可遷的，而穩定化子為 3 階的。 (PGL (2,7) 具有 3-可遷性，穩定化子是平凡的。)
• 解釋為 Klein 四次曲面鑲嵌的自同構，它在 24 個頂點（或對偶地，24個七邊形）上的作用是可遷的，穩定化子為7階（對應於頂點 / 七邊形的旋轉）。
• 將它解釋為 Mathieu 群 M₂₁ 的一個子群，後者作用於 21 個點，但它在這 21 個點上的作用並不可遷。

參考資料

• Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, [2010-04-15], （原始內容存檔於2010-01-16） 

進一步閱讀

• Brown, Ezra; Loehr, Nicholas. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? (PDF). Am. Math. Mon. 2009, 116: 727–732 [2019-04-28]. Zbl 1229.20046. doi:10.4169/193009709X460859. （原始內容 (PDF)存檔於2016-10-09）. 

外部連結

• The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Projective special linear group:PSL(3,2)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）