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零態射

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範疇論中,零態射是一類特殊的態射,性質類似指向(或指出自)一個零對象的態射。

定義

C為一個範疇f : XYC中的一個態射。如果對C中的任何對象W,都有g, h : WXfg = fh,則稱f是一個常態射(或稱左零態射)。對偶的,如果對C中的任何對象Z,都有g, h : YZgf = hf,則稱f是一個餘常態射(或稱右零態射)。同時是一個常態射與餘常態射時即為零態射

具零態射範疇一詞代表對C中任兩個對象A,B,存在一個固定的態射0AB : AB,且對任何C中的對象X, Y, Z與態射f : YZ, g : XY,需滿足下方的交換圖

態射0XY一定是零態射。

如果C是一個具零態射範疇,則0XY的搜集是唯一的。[1]

「零態射」和「具零態射範疇」之間的定義並不一致,但如果一個範疇中的每個hom類都有一個「零態射」,則它就會是一個「具零態射範疇」。

例子

  • 群範疇(或模範疇)中的零態射是一個同態 f : GH,使得G的元素全部送到H單位元。群範疇中的零對象是平凡群 1 = {1},在同構下是唯一的。所有零態射都能用1分解,即f : G1H.
  • 整體來說,如果C有一個零對象0,則對所有對象XY存在一個唯一的態射列: 0XY : X0Y 用這種方式定義的態射會賦予C一個具零態射範疇的結構。
  • 如果C是一個預可加範疇,則任何hom類Hom(X,Y)都會是一個交換群,因此具有零元素。這些零元素作為零態射使得C成為一個具零態射範疇。
  • 集合範疇沒有零對象,但有空集∅作為初對象。Set僅有的右零態射是從∅到集合X的函數。

相關概念

如果一個範疇有零態射,則對每個態射都可以定義英語Kernel_(category_theory)餘核

參考

  • Section 1.7 of Pareigis, Bodo, Categories and functors, Pure and applied mathematics 39, Academic Press, 1970, ISBN 978-0-12-545150-5 
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag, 2007 .

腳註

  1. ^ Category with zero morphisms - Mathematics Stack Exchange. Math.stackexchange.com. 2015-01-17 [2016-03-30].