量子耗散

量子耗散的研究目標是在量子力學的基礎上推導出經典耗散定律。量子耗散與量子去相干有緊密聯繫。它在量子力學的層面上研究了能量的不可逆損耗。 量子力學建立在哈密頓量的基礎上，系統總能量守恆，原則上講，這樣的系統不可能描述能量耗散過程。為了克服這個局限性，將系統分作兩部分，一部分是能量發生耗散的系統，一部分叫做「浴」，即該系統所處的環境，系統耗散掉的能量將會流入浴中。系統與浴的耦合取決於描述浴的微觀細節。為了不可逆的能量流動，浴含有無數個自由度。 1963年，費曼與Vernon的文章裏給出了關於浴的最簡單的模型，浴被看作是由無數個諧振子組成的集合。量子力學中，諧振子可用於描述自由玻色子。

Caldeira-Leggett 模型

1981年，Amir Caldeira 和 Anthony J. Leggett 提出了一個簡單模型，從量子角度深入解釋了耗散過程。該模型描述了一維的系統與浴的耦合。其哈密頓量為

$H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}$,

前兩項是系統的哈密頓量，第三項是浴的哈密頓量，代表了無數個諧振子之和。第四項描述了系統與浴的相互作用，在Caldeira-Leggett模型中，耦合與系統位置有關，而第五項則用於保證耗散最終在空間中是各向同性的。因為浴與系統的耦合依賴於系統坐標，如果不包含第五項，模型不能滿足平移不變性，這將導致系統與浴的相互作用與系統所處位置有關。

為了更方便的對浴建模，通常使用浴的譜密度函數

$J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})$

當趨近於經典極限時，即 $\hbar \rightarrow 0$ 時，通過路徑積分計算，對所有浴的自由度積分可獲得系統在浴的平均作用下的有效動力學，可得到如下運動方程式

$M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))$

其中，

$\alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega$

描述了耗散過程存在下影響粒子運動的有效力。對於馬可夫浴，即浴與系統相互作用只與當前狀態有關，以及歐姆耗散，上述方程式簡化為經典粒子在摩擦力作用下的運動方程式

$M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}$

因此，人們可以通過 Caldeira-Leggett 模型從量子角度解釋經典耗散過程。