辛克宏定理

辛克宏定理（英語：Sinkhorn's theorem）是線性代數中的一個定理，指所有元素為正的方塊矩陣都可以寫成一個正對角矩陣、一個雙隨機矩陣與另一個正對角矩陣之積的形式。

定理

如果$A$是所有元素都嚴格為正的$n\times n$矩陣，則存在元素嚴格為正的對角矩陣$D_{1}$和$D_{2}$，使得$D_{1}AD_{2}$是雙隨機矩陣，即每一行或列之和均為1。矩陣$D_{1}$和$D_{2}$在前者乘以一個正數、後者除以相同正數的情況下是唯一的。

辛克宏-諾普算法

一個逼近雙隨機矩陣的簡單迭代方法是交替地縮放$A$中所有行與列的比例，使其元素之和為1。辛克宏和諾普（Knopp）提出了該算法並分析了其收斂性。這一算法與調查統計學中的迭代比例擬合本質上相同。

擴展

在酉矩陣中存在類似的結論：對於任意酉矩陣$U$，都存在兩個對角酉矩陣$L$和$R$，使得$LUR$的每一列和每一行的元素之和均為1。

對矩陣間映射也有類似的擴展結論：給定一個克勞斯（Kraus）算子$\Phi$表示將一個密度矩陣映射到另一個密度矩陣的量子操作，即

$S\mapsto \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},$

其滿足跡不變

$\sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,$

並且其範圍在正定錐內部（嚴格正定）。在此條件下，存在正定的縮放因子$x_{j}$（$j\in \{0,1\}$），使得縮放後的克勞斯算子

$S\mapsto x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}$

是雙隨機的，即

$x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,$

$x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,$

其中$I$表示恆等算子。

應用

2010年代，辛克宏定理開始被用於求解熵正則化的最優傳輸問題。這一方法在機器學習領域引起了關注，因為由此得到的辛克宏距離（Sinkhorn distance）可用於評估數據分佈之間的差異。在一些最大似然訓練效果不佳的情況下，這種方法可以改進機器學習算法的訓練效果。