超越函數

數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程式的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為系數的多項式方程式。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自變量與常數之間有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說，關於變量$z$的解析函數$f(z)$是超越函數，如果該函數是關於變量$z$是代數獨立的。

對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切 、餘切等。

非超越函數稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中，對倒數函數$y=1/x$不定積分得到的，以此方式得到的雙曲函數$\sinh ,\cosh ,\tanh$等皆為超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

因次分析

在因次分析裏，超越函數是非常有用的，因為它們只在其引數無因次時才有意義。因此，超越函數可以是因次錯誤的顯著來源。例如，$\log {(10{\mbox{cm}})}$是個毫無意義的表示式。$\log {(10{\mbox{cm}})}$不同於$\log {(5{\mbox{cm}}/3{\mbox{cm}})}$和$(\log {10}){\mbox{cm}}$，後兩者是有實際意義的。利用對數恆等式，將$\log {(10{\mbox{cm}})}$展開為$\log {10}+\log(1{\mbox{cm}})$能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。

一些例子

以下列出的函數都是超越函數：除了少數特殊的情況，對於一般的$x$不能通過有限次代數運算求出$f(x)$：

$f_{1}(x)=x^{\pi }$

$f_{2}(x)=c^{x}\quad \left(c\neq 0,1\right)$

$f_{3}(x)=x^{x}$

$f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}$

$f_{5}(x)=\log _{c}x\quad \left(c\neq 0,1\right)$

參閱

• 超越數
• 解析函數
• 複變函數
• 廣義函數
• 特殊函數