賦值環

在抽象代數中，賦值環是一個域裏的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

定義

賦值環是一個整環D，滿足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x ⁻¹ ∈ D. 一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，當且僅當對每個 $x\in F^{*}$，必有 $x\in R$ 或 $x^{-1}\in R$。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F的素點（位）

若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。

性質

• 令${\mathcal {M}}:=F-R^{*}$，則 ${\mathcal {M}}$ 是 F 中唯一的極大理想。
• 承上，$k:=R/{\mathcal {M}}$ 被稱作 R 的剩餘域。

範例

• 任何域都是賦值環。
• Z_(p)是賦值環, ，整數環在質理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整數組成，。分式域為有理數域Q
• 複數平面上的亞純函數的麥克勞林級數（泰勒級數展開為零）環是一個賦值環。分式域是整個複數平面上的亞純函數。如果f不有麥克勞林系列的1 / f確實。
• 任何一個給定的質數p p進整數環Z_p 是局部環（p進數的分式域Q_p域），p進整數環Z_p 代數閉體Z_p^cl也是一個局部環， Z_p 和 Z_p^cl都是賦值環。

設k是一個有序的領域。 k的元素被稱為有限的，如果它在於兩個整數N <X <米;否則，它被稱為無限。有限元素的K D是估值環。等元素x的x∈D和X-1∉D是無窮小元素的集合;一個元素x在X∉D和X-1∈D，被稱為無限。 有限元的超現實領域·R環F是一個* R的估值環F由所有超現實的數字，從一個標準的真正的不同，由一個無限小的量，這相當於說超現實數x這樣一些標準的整數n-N <X <N。渣場，有限的超現實數模無窮的超現實數字理想，是同構的實數。

• 令 X 為一黎曼曲面，x 為其上一點。令 $R_{x}:=\{f\in \mathbb {C} (X):f(x)\neq \infty \}$，則 $R_{x}$ 構成一賦值環。
• 設 $F$ 為域，則 $F[[X]]$ 是 $F((X))$ 中的賦值環。
• $\mathbb {Z} _{p}$ 為 $\mathbb {Q} _{p}$ 中的賦值環。
• 設$(\Gamma ,>)$ 為一有序交換群，$K$ 為域，$v:K^{*}\rightarrow \Gamma$ 為一賦值，則 $R_{v}:=\{r\in R:v(r)\geq 0\}$ 為一賦值環，此時$v(K^{*})$被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.