貝蒂數

在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數（英語：Betti number）$b_{0},b_{1},b_{2},\ldots$ 是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，$b_{0}$ 是連通分支之個數，$b_{1}$ 是沿着閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 $b_{k}$ 可藉同調群定義。

「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用，以意大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義

空間 $X$ 的第 $k$ 個貝蒂數（$k$ 為非負整數）定義為

$b_{k}=\dim H_{k}(X;\mathbb {Q} )$

上式的同調群可以任意域為系數。

例子

• 圓環 $S^{1}$ 的貝蒂數依次為 $1,1,0,0,0,\ldots$。
• 二維環面的貝蒂數依次為 $1,2,1,0,0,0,\ldots$。
• 三維環面的貝蒂數依次為 $1,3,3,1,0,0,0,\ldots$。
• 一般而言，$n$ 維環面的貝蒂數由二項式系數給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。
• 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維複射影空間 $\mathbb {P} ^{\infty }$ 的貝蒂數依次為 $1,0,1,0,1,\ldots$（週期為二）。

性質

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。環面之 $b_{1}=2$；一般而言，閉曲面的 $b_{1}$ 等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其 $b_{1}$ 完全分類。

有限單純複形或CW複形的貝蒂數有限。當 $k$ 大於複形維度時，$b_{k}=0$。

對於有限 CW 複形，定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數

$P_{X}(z):=\sum _{k}b_{k}z^{k}$

對於任意 $X,Y$，有

$P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z).$

對於 $n$-維可定向閉流形 $X$，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

$b_{k}(X)=b_{n-k}(X)$

貝蒂數與微分形式

在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 $X$ 通常是閉流形，此時拓撲不變量 $b_{k}$ 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮複形

$0\to A^{0}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{1}(X){\stackrel {d}{\to }}A^{2}(X)\to \cdots$

其中 $A^{k}(X)$ 表 $k$ 次微分形式構成的向量空間，$d$ 為外微分。則

$b_{k}=\dim {\dfrac {\mathrm {Ker} (d:A^{k}\to A^{k+1})}{\mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})}}$

這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處，在於它考慮的是微分形式的等價類，其間可差一個 $\mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})$ 之元素。設流形 $X$ 具有黎曼度量，則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素，透過形式計算可知存在唯一最短元素 $\omega \in A^{k}(X)$，且為調和形式 ：$\Delta \omega =0$，在此拉普拉斯算子 $\Delta$ 依賴於流形的度量，在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在複幾何中扮演關鍵角色。

文獻

• F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
• J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).