角平分線定理

內角平分線定理及逆定理：$\angle \alpha =\angle \beta \Leftrightarrow {\tfrac {DB}{DC}}={\tfrac {AB}{AC}}$
外角平分線定理及逆定理：$\angle \gamma =\angle \delta \Leftrightarrow {\tfrac {EB}{EC}}={\tfrac {AB}{AC}}$

（內）角平分線定理是一個平面幾何定理：三角形一角的內角平分線分割對邊為兩段，兩段的長度之比等於兩條鄰邊的長度之比。反過來，有（內）角平分線逆定理：把三角形一邊分割為長度之比等於鄰邊長度之比的兩段，則經過分割點與對角頂點的直線為對角的內角平分線。以上兩條定理見於古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》，屬於平面幾何最基本的定理之列。

類似地，存在外角平分線定理和外角平分線逆定理。前者指的是：三角形一角的外角平分線與對邊所在的直線相交，交點到對邊上兩頂點的距離之比等於兩條鄰邊的長度之比。後者指的是：三角形一邊的延長線上有一點到該邊上兩頂點的距離之比等於另外兩邊的長度之比，則經過該點與對角頂點的直線為對角的外角平分線。內、外角平分線定理（及逆定理），合稱角平分線定理（及角平分線逆定理），又稱角平分線性質。

歷史

內角平分線定理及其逆定理出現在古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》的第六卷命題三。至於外角平分線定理及其逆定理，古希臘數學家帕普斯直接採納了該命題的結論，但沒有給出證明。近代蘇格蘭數學家羅伯特·西姆松將內、外角平分線定理視為兩個命題，而英國數學家奧古斯塔斯·德摩根、蘇聯數學家德米特里·別列標爾金等則視二者為一統的角平分線定理。

證明

內、外角平分線定理及逆定理均有多種證明方法。以下列出歐幾里得《幾何原本》採用的思路，以及將該思路推廣至外角平分線的證法。

內角平分線

$\angle \alpha =\angle \beta$$\;\Leftrightarrow \;$$AE=AC$$\;\Leftrightarrow \;$${\tfrac {DB}{DC}}={\tfrac {AB}{AE}}={\tfrac {AB}{AC}}$

在 $\triangle ABC$ 中，在 $BC$ 邊上任取一點 $D$ 。過點 $C$ 做 $AD$ 的平行線，與 ${\overline {BA}}$ 的延長線相交於點 $E$ 。

$\angle BAD=\angle AEC$

$\angle CAD=\angle ACE$

$\triangle DBA$ ${\color {Blue}\sim }$ $\triangle CBE$$\;\Rightarrow \;$${DB \over DC}={AB \over AE}$

證內角平分線定理

$\angle BAD=\angle CAD$$\;\Rightarrow \;$$\angle AEC=\angle ACE$$\;\Rightarrow \;$$\triangle ACE$ 為等腰三角形$\;\Rightarrow \;$$AC=AE$$\;\Rightarrow \;$${DB \over DC}={AB \over AE}={AB \over AC}$

證內角平分線逆定理

$AC={AB\cdot DC \over DB}=AE$$\;\Rightarrow \;$$\triangle ACE$ 為等腰三角形$\;\Rightarrow \;$$\angle AEC=\angle ACE$$\;\Rightarrow \;$$\angle BAD=\angle CAD$

外角平分線

$\angle \alpha =\angle \beta$$\;\Leftrightarrow \;$$AE=AC$$\;\Leftrightarrow \;$${\tfrac {DB}{DC}}={\tfrac {AB}{AE}}={\tfrac {AB}{AC}}$

在 $\triangle ABC$ 中，令 $AB>AC$ 。在 ${\overline {BC}}$ 的延長線上取一點 $D$ 。過點 $C$ 做 $AD$ 的平行線，與 $BA$ 邊相交於點 $E$ 。在 $BA$ 的延長線上任取一點 $F$ 。

$\angle FAD=\angle AEC$

$\angle CAD=\angle ACE$

$\triangle DBA\sim \triangle CBE$$\;\Rightarrow \;$${DB \over DC}={AB \over AE}$

證外角平分線定理

易證得，三角形外角平分線與對邊直線的交點，必定落在較短的鄰邊的一側。

$\angle FAD=\angle CAD$$\;\Rightarrow \;$$\angle AEC=\angle ACE$$\;\Rightarrow \;$$\triangle ACE$ 為等腰三角形$\;\Rightarrow \;$$AC=AE$$\;\Rightarrow \;$${DB \over DC}={AB \over AE}={AB \over AC}$

證外角平分線逆定理

易證得，三角形一邊所在直線上符合要求的點，必定落在較短的鄰邊的一側。

$AC={AB\cdot DC \over DB}=AE$$\;\Rightarrow \;$$\triangle ACE$ 為等腰三角形$\;\Rightarrow \;$$\angle AEC=\angle ACE$$\;\Rightarrow \;$$\angle FAD=\angle CAD$

應用

角平分線性質有廣泛的應用。其中一個關係相當緊密的應用是，證明平面上到兩定點的距離之比為定值（不等於1）的點的軌跡是一個圓。該圓即阿波羅尼奧斯圓。

參見

• 角平分線長公式
• 三角形內心