在機率論 中, 對定義在相同樣本空間[ 1] 隨機變量
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
聯合分佈 是同時對於
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
機率分佈 。
對離散隨機變量 而言，聯合分佈機率質量函數 為
P
r
(
X
=
x
&
Y
=
y
)
{\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
Y
=
y
|
X
=
x
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
.
{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}
因為是機率分佈函數，所以必須有
∑
x
∑
y
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}
類似地，對連續隨機變量 而言，聯合分佈機率密度函數 為
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
f
Y
|
X
(
y
|
x
)
{\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}
f
X
|
Y
(
x
|
y
)
{\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}
X
=
x
{\displaystyle X=x}
Y
{\displaystyle Y}
條件分佈 以及
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
X
{\displaystyle X}
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
f
Y
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
邊際分佈 。
同樣地，因為是機率分佈函數，所以必須有
∫
x
∫
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}
對於兩相互獨立 的事件
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
P
(
Y
)
{\displaystyle P(Y)}
x 和y 而言有離散隨機變量
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
X
=
x
)
⋅
P
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
p
X
(
x
)
⋅
p
Y
(
y
)
{\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
2元聯合分佈可以推廣到任意多元的情況
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
n
|
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
n
|
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
f
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080（Eng） .
