置換群

數學中，對一個給定的集合$M$，所有由$M$到自身的可逆映射構成的集合關於映射的合成構成一個群，稱為$M$的對稱群，記為$S_{M}$。$S_{M}$的任一子群稱為$M$上的置換群（英語：permutation group）。

如果$M$是包含$n$個元素的有限集，稱其到自身的可逆映射為$n$階置換，其對稱群$S_{M}$稱為$n$階對稱群，記為解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_n} 。$S_{n}$的任一子群亦為置換群。

置換群到被置換的元素的應用稱為群作用；它在對稱性和組合論以及數學的其他很多分支中有應用，也是研究晶體結構等所不可或缺的工具。

定義及基本性質

置換群皆為某個對稱群的子群，它的所有元素都是一集合的置換。因而它的元素所構成的集合是所對應的對稱群中關於映射的合成以及在到反元素的映射下封閉的一個子集，它亦需要包含該集合的恆等函數作為其單位元。

例子

置換通常寫作輪換形式，例如，在輪換指標計算中，給定集合$M=\{1,2,3,4\}$，$M$的一個置換$g$若為$g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1$和$g(3)=3$，可以寫作$(1,2,4)(3)$，或者更常見的寫作$(1,2,4)$，因為$3$保持不變；若物件有單個字母或數字表示，逗號也被省去，所以可以記作$(1\ 2\ 4)$。

常見的置換群

$M=\{1,2\}$

$g_{1}=(1),g_{2}=(1\ 2)$

$M=\{1,2,3\}$

$(1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)$

$M=\{1,2,3,4\}$

$(1),$ $(1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),$ $(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),$ $(1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)$

參看

• 群作用
• 本原群
• 置換
• 輪換
• 交錯群

參考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.