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矩陣差分方程

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矩陣差分方程是一種差分方程,其中某時刻的變量向量(或矩陣)與之前時刻的值通過矩陣相關。[1][2]方程的是變量向量任意兩個指示值之間的最大時差。例如

是二階矩陣差分方程,其中xn × 1變量向量,ABn × n矩陣。該方程齊次,因為方程末尾沒有常數項向量。同一個方程也可寫成

最常見的矩陣差分方程都是一階的。

非齊次一階情形及穩態

非齊次一階矩陣差分方程如:

與一個加性常向量 b。該系統的穩態是x向量的值x*,一旦達到就不會偏離。x*可通過置xt = xt−1 = x*、解x*以得

其中In × n單位矩陣,假定[IA]可逆。非齊次方程可用偏離穩態的齊次方程重寫:

一階情形的穩定性

一階矩陣差分方程[xtx*] = A[xt−1x*]穩定的,即若且唯若轉移矩陣A的所有特徵值(無論實復)絕對值都小於1時,xt才逐漸收斂到穩態x*

解一階情形

假定方程齊次形式為yt = Ayt−1,然後可從初始條件y0開始迭代。y0y的初值,必須得知才能求解:

以此類推,由數學歸納法,用t表示的解為

此外,若A可對角化,就可用它的特徵值和特徵向量重寫A,得到解

其中Pn × n矩陣,列是A的特徵向量(假設特徵值互異);Dn × n對角矩陣,對角元是A的特徵值。這個解就是上述穩定性結果的依據:若且唯若A的特徵值絕對值都小於1,At才會隨時間收縮到零矩陣。

從一階矩陣系統中提取單一純量變量的動力特性

n維系統yt = Ayt−1開始,可以提取其中一個狀態變量(如y1)的動態變化。上述yt的求解方程表明,y1,t的解是根據An個特徵值求得的。因此,描述y1變化的方程本身必須有涉及特徵值的解。這種描述直觀地產生了y1的演化方程,即

其中參數ai來自A特徵方程式

因此,n維一階線性系統中的每個純量變量都根據一元n階差分方程演化,與矩陣差分防塵具有相同的穩定性。

高階情形的解與穩定性

可用分塊矩陣將高階矩陣差分方程轉換到一階,可以求解時滯超過一個周期的高階方程,並分析其穩定性。例如,假設有二階方程

變量向量x尺寸為n × 1AB尺寸為n × n。則可以疊加為下列形式

其中In × n單位矩陣0n × n零矩陣。然後將當前變量和一度滯後變量的2n × 1疊加向量表示為zt,將2n × 2n分塊矩陣表示為L,就得到了之前的解

與之前一樣,若且唯若矩陣L 的所有特徵值的絕對值都小於1時,疊加方程與原二階方程才穩定。

非線性矩陣差分方程:黎卡提方程

LQG控制中,會出現一個當前和未來成本矩陣反向演化的非線性矩陣方程,下面用H表示。這個方程也被稱為離散動力黎卡提方程,當據線性矩陣差分方程演化的變量向量受外源向量的控制,以優化二次損失函數時,就會產生這個方程。黎卡提方程形式如下:

其中HKA尺寸為n × nC尺寸為n × kR尺寸為k × kn是受控向量元素數,k是控制向量元素數。參數矩陣AC來自線性方程,參數矩陣KR來自二次損失函數。詳見此處

一般來說,該方程無法根據t分析求解Ht,而是通過迭代黎卡提方程,求出Ht的值序列。不過,已經證明[3],若R = 0n = k + 1,則可將黎卡提方程簡化為純量有理差分方程分析求解;對任意kn,若轉移矩陣A可逆,則黎卡提方程就可根據矩陣特徵值進行分析求解,儘管特徵值可能要用數值計算才能找到。[4]

在大多數情況下,H隨時間的演化是穩定的,也就是說H會收斂到特定的常矩陣H*,其他矩陣都有理時也可能是無理的。參見隨機控制#離散時間系統

相關的黎卡提方程[5]

其中X, A, B, C, E全都是n × n方陣。這個方程可以顯式求解。假設,在t = 0N0 = X0D0 = I顯然成立。然後將其用於差分方程,得出

因此通過歸納法,形式對所有t都成立。那麼ND的演化可寫為

因此可歸納

另見

參考文獻

  1. ^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie. Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. 2005. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6. 
  2. ^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics需要免費註冊 3rd. McGraw-Hill. 1984: 608–612. ISBN 9780070107809. 
  3. ^ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 2007, 31 (1): 141–159 [2023-10-15]. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013. (原始內容存檔 (PDF)於2022-01-18). 
  4. ^ Vaughan, D. R. A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation. IEEE Transactions on Automatic Control. 1970, 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549. 
  5. ^ Martin, C. F.; Ammar, G. The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method. Bittani; Laub; Willems (編). The Riccati Equation. Springer-Verlag. 1991. ISBN 978-3-642-63508-3. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5.