決定性問題

在可計算性理論與計算複雜性理論中，決定性問題，亦稱判定問題，（英語：Decision problem）是一個在某些形式系統回答「是」或「否」的問題。

舉例來說，「判定給定的自然數是否為質數」是一個決定性問題。另一個具體的例子是：「給兩個數字 x 與 y，x 是否可以整除 y？」，此問題依據其 x 與 y 的值可回答是或否。以演算法形式給出的解決決定性問題的方法稱為決策程式（decision procedure）。對決定性問題「給兩個數字 x 與 y，x 是否可以整除 y？」決策程式將確定 x 是否整除 y。一種這樣的演算法是長除法，如果餘數為 0，則原決定性問題的答案為「是」，否則為「否」。若某決定性問題可以被一些演算法所解決，則稱此問題可決定（decidable）。

決定性問題與功能性問題（Function problem，或複雜型問題）密切相關，與決定性問題相比，功能性問題的答案內容會複雜許多，並非較簡單的是與非。範例問題：「給予一個正整數x，則哪些數可整除 x？」

另一個與上述兩類問題相關的是最佳化問題（Optimization problem），此問題關心的是尋找特定問題的最佳答案。

計算複雜度的領域中，分類可決定問題的依據在於「此問題有多難被解決」。在此標準下，所謂的「難」是以解決某問題最有效率的演算法所花費的計算資源為依據。在遞歸理論中，非決定性問題由圖靈度決定，指的是一種在任何解答中隱含的不可計算性量詞。

計算性理論的研究集中在決定性問題上。在§ 與函數問題的等價性中，並沒有失去其普遍性。

定義

決定性問題指的是在一個數量為無限大的輸入集合中，可產出任何是或非解答的問題之集合。因此傳統上定義決定性問題，乃依其解答為「是」的輸入之集合。在此情形下，一決定性問題亦等於一形式語言。

形式上，決定性問題是一自然數子集A。藉由使用哥德爾數，也可學習諸如形式語言的其他集合。非正規的定義決定性問題，就是判別一個給予的數字是否在此集合內。

一決定性問題若其A是一個遞歸集合，則稱做可決定的（decidable）或有效可解（effectively solvable）。若其A是一遞歸可列舉集合則稱為部分可決定的（partially decidable）、半可決定的（semidecidable）、可解的（solvable）或可證明（provable）。除此之外，此問題稱為不可決定的。

例子

一個經典可決定的決定性問題是質數問題。藉由測試每一個可能的因數，有可能有效決定一個自然數是否為質數。儘管存在很多效能更佳的質數判定方法，任何有效方法的存在就已足夠建立可決定性。

重要的不可決定的決定性問題包括停機問題，其他請見不可決定的問題列表。在計算複雜性理論中，完備的決定性問題通常用來判別其他決定性問題的複雜度類別。重要的實例包括SAT問題與其數變種，還有無向與有向圖可達性問題。

歷史

德語「Entscheidungsproblem」，亦即「判定性問題」（Decision-problem），最早出自於大衞·希爾伯特的話：「在1928年的會議上，希爾伯特精確地描述了他的問題。首先，數學是否具有完備性？……其次，數學是否具有一致性？……再次，數學是否具有判定性？這些問題的意思是，是否存在這樣一種確定的方法，在理論上可適用於任何假設，並且能夠保證對無論是否正確的假設都能給出一個正確的結果」（Hodeges，p. 91）。希爾伯特相信「在數學上沒有『ignorabimus』」，亦即「我們將無從得之」。

與函數問題的等價性

參考

Hodges, A., Alan Turing: The Enigma, Simon and Schuster, New York. Cf Chapter "The Spirit of Truth" for some more history that led to Turing's work.

Hodges references a biography of David Hilbert: Constance Reid, Hilbert（George Allen & Unwin; Springer-Verlag, 1970）. There are apparently more recent editions.

Kozen, D.C.（1997）, Automata and Computability, Springer.
Hartley Rogers, Jr., The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, MIT Press, ISBN 0-262-68052-1 (paperback), ISBN 0-07-053522-1
Sipser, M.（1996）, Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing Co.
Robert I. Soare (1987), Recursively Enumerable Sets and Degrees, Springer-Verlag, ISBN 0-387-15299-7