概形

概形（英語：scheme）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的論文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代數幾何中的一些問題，例如威爾猜想 。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓撲學、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明費馬最後定理。

定義

給定一個局部賦環空間$(X,{\mathcal {O}}_{X})$，如果對$X$的一個開集$V$，$(V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})$是仿射概形，稱$V$爲仿射開集。

一個局部賦環空間$(X,{\mathcal {O}}_{X})$稱爲概形，如果$X$的每一點$x$都有仿射開鄰域，即包含$x$的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

概形範疇

全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見概形的態射）。給定概形$Y$，所謂$Y$之上的概形$X$（又稱$Y$-概形）即是概形間的態射$X\to Y$。交換環$R$上的概形$X$即是態射$X\to \operatorname {Spec} (R)$。

域$k$上的代數簇可定義為$k$上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為$k$之上有限型的整、分離概形。

態射$f:X\to Y$確定了正則函數環上的拉回同態$f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)$。對於仿射概形，此構造給出概形態射$\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$與環同態$B\to A$之間的一一對應。此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於$\mathbb {Z}$是交換環範疇的始對象，概形範疇對應以$\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$為終對象。對於交換環$R$上的概形$X$，所謂$X$的$R$值點即是態射$X\to \operatorname {Spec} (R)$的截面，全體$R$值點的集合記作$X(R)$，其對應的古典概念是定義$X$的方程組在$R$中的解集。若$R$實為域$k$，則$X(k)$亦稱為$X$的$k$-有理點集。

推而廣之，設有交換環$R$，其上有概形$X$和交換代數$S$，則$X$的$S$值點定義為$R$之上的態射$\operatorname {Spec} (S)\to X$（該態射需要與射向$\operatorname {Spec} (R)$的態射組成交換圖表），$S$值點的集合記作$X(S)$。（類比到方程組的情況，相當於將某個域$k$擴張成$E$，再考慮$E$中的解集。）固定$R$及其上的概形$X$時，映射$S\mapsto X(S)$為自交換$R$代數範疇至集合範疇的函子。$R$上的概形$X$可從此點函子確定。

概形的纖維積總存在：對任意兩態射$X\to Y,Z\to Y$，皆可在概形範疇內找到纖維積$X\times _{Y}Z$（即範疇學拉回）。若$X,Z$為域$k$上的概形，則兩者在$\operatorname {Spec} (k)$上的纖維積可以視為$k$-概形範疇中的積，例如仿射空間$\mathbb {A} ^{m}$與$\mathbb {A} ^{n}$在$k$上之積正是$\mathbb {A} ^{m+n}$。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象$\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$，其有齊全部有限極限。

歷史

概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為「預概形」（法語：préschéma，英語：prescheme），1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文「概型」。

例

• 仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設$X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}$（基域取複域$\mathbb {C}$為例），則當$n\geq 2$時，$X$不為仿射。（但對於$n=1$的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形$\operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]$。）欲證$X$非仿射，可以證出當$n\geq 2$時，$X$上的每個正則映射，皆可延拓至$\mathbb {A} ^{n}$上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的哈托格斯延拓定理）。換言之，嵌入$f:X\to \mathbb {A} ^{n}$導出自${\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$至${\mathcal {O}}(X)$的環同構。假若$X$仿射，將由此得出$f$本身亦為同構，但$f$不為滿射，矛盾。因此，概形$X$不為仿射。
• 設$k$為域，則可數積${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }k}$的譜${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超濾子一一對應：超濾子${\mathcal {F}}$對應質理想

  $\quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},$

  特別地，正整數$n$對應的主超濾子，對應的質理想是$\{x:x_{n}=0\}$。本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個既約分支。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（諾特概形則與之相對，衹有有限多個既約分支。）

參考文獻

• Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688 . 
• Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 

參見

• 《代數幾何基礎》