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格林-陶定理

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格林-陶定理(英語:Green-Tao theorem)是本·格林英語Ben_Green_(mathematician)陶哲軒於2004年證明的一個關於質數組成的等差數列存在性定理[1]。質數序列包含任意長的等差數列,是格林-陶定理的著名推論。

定理內容

對於任意的素數集合的子集,若相對於素數集合的上密度(英語:upper density)為正,即:

其中,代表不大於的素數的個數。

那麼:

對於任意的正整數中的元素可以組成任意多個長度為的等差數列。[1]

推論

格林-陶定理有以下兩個直接的推論:

  • 對於任意正整數,質數序列中存在任意多長度為的等差子序列
  • 質數序列中包含有任意長的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列

質數序列中長度為的等差子序列,對於1≤n≤k,目前最好的結果是對於k=26,此等差數列為:

{an=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相關定理與猜想

  • 格林-陶定理是塞邁雷迪定理在素數集上的推廣。
  • 格林-陶定理是埃爾德什等差數列猜想的一個特例。
  • 更強的猜想是對於任何正整數r,質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階階差數列(0階階差數列是常數數列,1階階差數列是等差數列,依此類推),格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列,質數序列中長度為的二階階差子序列,對於0≤n≤k−1,目前最好的結果是對於k=45,此數列為36n^2-810n+2753(不管各項的大小順序,只要序列中沒有重複的質數就可以)。

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Green, Ben; Tao, Terence, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 2008, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188可免費查閱, doi:10.4007/annals.2008.167.481 .

外部連結