未解決的統計學問題

未解決的統計學問題，根據約翰·圖基（John Tukey）的說法，^[1]識別問題的困難遠遠比解決問題的困難更能拖延統計數據。戴維·科克斯（David Cox）給出了一份「一兩個懸而未決統計學的問題」（實際上是22個）的清單。^[2]

推理和檢驗

如何檢測和糾正測量誤差，特別是在系統誤差中（圖基稱這種情況為不舒服的科學（英語：Uncomfortable science））。
Graybill-Deal估計器經常被用來估計具有未知和可能存在不平等方差的兩個正常種群的共同平均值。儘管這個估計器通常是無偏差的，但它的可接受的決策規則（英語：Admissible decision rule）仍有待證明。^[3]
元分析。雖然獨立的P值可以用費雪方法結合起來，但仍在開發技術來處理諧波平均p值（英語：Harmonic mean p-value）的情況。
Behrens-Fisher問題（英語：Behrens–Fisher problem）。尤里·林尼克（英語：Yuri Linnik）在1966年表明，當方差未知且可能不相等時，沒有一致性最強的測試（英語：Uniformly most powerful test）來檢驗兩個平均值的差異。也就是說，沒有一個精確檢驗（英語：Exact test）（意思是說，如果均值實際上是相等的，就沒有一個能以概率正好是α拒絕零假設的檢驗），同時對所有的變異值（因此是多餘參數）都是最有力的。雖然有許多近似的解決方案（如韋爾奇的t檢驗（英語：Welch's t-test）），但這個問題仍然吸引着人們的注意^[4] 作為統計學的經典問題之一。
多重比較謬誤。有各種方法來調整P值，以補償假設的同時或順序分析（英語：Sequential analysis）。特別值得關注的是如何同時控制總體錯誤率，保持統計能力，並將測試之間的依賴性納入調整。當同時測試的數量非常大時，這些問題尤其重要，在分析DNA微陣列的數據時，這種情況越來越多。
貝葉斯統計。有人^[誰？]提出了一份貝葉斯統計學的開放性問題清單。^[5]

實驗設計

由於拉丁方陣的理論是實驗設計的基石，解決拉丁方陣的問題（英語：Problems in Latin squares）可以立即適用於實驗設計。

更具哲學性質的問題

物種採樣問題：當出現意想不到的新數據時，概率是如何更新的？^[6]
末日論概率論聲稱預測未來人類的壽命，只考慮到對迄今為止出生的人類總數的估計，這種說法的有效性如何？
交換悖論（英語：Two envelopes problem）問題出現在主觀解釋的概率理論中；更具體地說，是在貝葉斯決策理論中。由於尚未達成共識，這在主觀主義者中仍是一個公開的問題。例子包括：
- 兩件信封問題（英語：Two envelopes problem）
- 領帶悖論（英語：Necktie paradox）
日出問題（英語：Sunrise problem）明天太陽升起的概率是多少？根據所使用的方法和假設，會出現非常不同的答案。

註釋

^ Tukey, John W. Unsolved Problems of Experimental Statistics. Journal of the American Statistical Association. 1954, 49 (268): 706–731. JSTOR 2281535. doi:10.2307/2281535.
^ Cox, D. R. Present Position and Potential Developments: Some Personal Views: Design of Experiments and Regression. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General). 1984, 147 (2): 306–315. JSTOR 2981685. doi:10.2307/2981685.
^ Pal, Nabendu; Lim, Wooi K. A note on second-order admissibility of the Graybill-Deal estimator of a common mean of several normal populations. Journal of Statistical Planning and Inference. 1997, 63: 71–78. doi:10.1016/S0378-3758(96)00202-9.
^ Fraser, D.A.S.; Rousseau, J. Studentization and deriving accurate p-values (PDF). Biometrika. 2008, 95: 1–16. doi:10.1093/biomet/asm093.
^ Jordan, M. I. What are the open problems in Bayesian statistics? (PDF). The ISBA Bulletin. 2011, 18 (1): 1–5 [2022-12-12]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-03-26）.
^ Zabell, S. L. Predicting the unpredictable. Synthese. 1992, 90 (2): 205. S2CID 9416747. doi:10.1007/bf00485351.

參考文獻

Linnik, Jurii. Statistical Problems with Nuisance Parameters. American Mathematical Society. 1968. ISBN 0-8218-1570-9.
Sawilowsky, Shlomo S. Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂. Journal of Modern Applied Statistical Methods. 2002, 1 (2). doi:10.22237/jmasm/1036109940 .

[1] Tukey, John W. Unsolved Problems of Experimental Statistics. Journal of the American Statistical Association. 1954, 49 (268): 706–731. JSTOR 2281535. doi:10.2307/2281535.

[2] Cox, D. R. Present Position and Potential Developments: Some Personal Views: Design of Experiments and Regression. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General). 1984, 147 (2): 306–315. JSTOR 2981685. doi:10.2307/2981685.

[3] Pal, Nabendu; Lim, Wooi K. A note on second-order admissibility of the Graybill-Deal estimator of a common mean of several normal populations. Journal of Statistical Planning and Inference. 1997, 63: 71–78. doi:10.1016/S0378-3758(96)00202-9.

[4] Fraser, D.A.S.; Rousseau, J. Studentization and deriving accurate p-values (PDF). Biometrika. 2008, 95: 1–16. doi:10.1093/biomet/asm093.

[5] Jordan, M. I. What are the open problems in Bayesian statistics? (PDF). The ISBA Bulletin. 2011, 18 (1): 1–5 [2022-12-12]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-03-26）.

[6] Zabell, S. L. Predicting the unpredictable. Synthese. 1992, 90 (2): 205. S2CID 9416747. doi:10.1007/bf00485351.

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