數書九章

提示：此條目頁的主題不是九章算術。

欽定《四庫全書》 《數書九章》

《數書九章》又名《數學九章》，共18卷，南宋數學家秦九韶著於淳祐七年（1247年）。

題材

宜稼堂 《數書九章》十八卷

《數書九章》題材廣泛，取自宋代社會各方面，包括農業、天文、水利、城市佈局、建築工程、測量、賦稅、兵器、軍旅等方面，是一部實用數學大全。

《數書九章》十八卷，分為九類，每類九問，共九九八十一問。

• 第一，二卷：一大衍類：蓍卦發微，古歷會積，推計土功，推庫額錢，分糶推原，程行計地，程行相及，積尺尋源，余米推數。
• 第三，四卷：二天時類；推氣治歷，治歷推閏，治歷演紀，綴術推星，揆日究微，天池測雨，圓罌測雨，峻積驗雪，竹器驗雪。
• 第五，六卷：三田域類；尖田求積，三斜求積，斜蕩求積，計地容民，蕉田求積，均分梯田，漂田推積，環田三積，圍田先計。
• 第七，八卷：四測望類；望山高遠，臨台測水，陡岸測水，表望方城，遙度圓城，望敵圓營，望敵遠近，古池推元，表望浮圖。
• 第九，十卷：五賦役類；服邑修賦，圍田租畝，築梗均勞，寬減屯租，戶田均寬，均科綿稅，戶稅移割，移運均勞，均定勸分。
• 第十一，十二卷：六錢穀類；折解輕齎，算回運費，課糴貴賤，囤積量容，積倉知數，推知糴數，分定綱解，累收庫本，米穀粒分。
• 第十三，十四卷：七營建類；計定城築，樓櫓功料，計造石壩，計浚河渠，計作清台，堂皇程築，砌磚計積，竹圍蘆束，積木計余。
• 第十五，十六卷：八軍旅類；計立方營，方變銳陣，計布圓陣，圓營敷布，望知敵眾，均敷徭役，先計軍程，軍器功程，計造軍衣。
• 第十七，十八卷：九事物類；推求物價，均貨攤本，互易推本，菽粟互易，推計互易，煉金計值，推本求息，推求典本，僦值推原。

內容

《數書九章》 三斜求積

表望浮屠

宜稼堂 《數書九章》正負開三乘方圖

遙度圓城

秦九韶大衍術

算術

• 用分數計算折扣；折解輕齎，米穀粒分，課糴貴賤。
• 百分比計算；煉金計值，推求典本，累收庫本。
• 比例；先計軍程，均科綿稅，堂皇程築，軍器功程，互易推本，菽粟互易，推計互易。
• 盈不足術；計造軍衣。
• 級數；綴術推星，計造石壩，積木計余，圓營敷布，竹圍蘆束，推本求息，計立方營。

幾何學

• 面積計算；三斜求積，斜蕩求積，蕉田求積。

《數書九章》第五卷 第二問「三斜求積」。

問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知為田幾何？

答曰：田積三百一十五頃。

術曰：以少廣求之。以小斜冪並大斜冪減中斜冪，余半之，自乘於上。以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，為實。一為從隅，開平方之，得積。

其中，「三斜」即「大斜」、「中斜」、「小斜」，是三角形從大到小的三條邊。秦九韶列出的面積公式是：

$A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}$，其中$a\geq b\geq c$ ， 這個公式和海倫公式是等價的。

• 重差測量；望山高遠，臨台測水，陡岸測水，表望方城，遙度圓城，望敵圓營，表望浮圖。

• 體積計算；天池測雨，圓罌測雨。

多項式方程

主條目：秦九韶算法

• 均分梯田，古池推元，囤積量容，計布圓陣，推知糴數，尖田求積，環田三積，遙度圓城。

秦九韶的《數書九章》詳細敘述二十六個二次到十次方程的的實數根的數值解，其中包含二十個二次方程，一個三次方程，四個四次方程和一個十次方程 。三上義夫指出，秦九韶算法起源於漢代《九章算術》的開方法。前蘇聯數學史家尤什克維奇說「這是中國傳統數學最偉大成就之一」，他還說印度人不知有此方法，而阿拉伯數學家可能從中國先人傳入此方法，六百年之後，英國數學家威廉·喬治·霍納重新發現此法。

《數書九章》「《遙度圓城》」 題列出一個十次方程，求解圓城的直徑：

$x^{10}+15x^{8}+72x^{6}-864x^{4}-11664x^{2}-34992=0$，得精確解 $x=3$ 。

線性方程組

• 綴術推星，推求物價，均貨攤本。

線性方程組的消元法起源於《九章算術》卷八《方程》章。秦九韶在《數書九章》卷17第73問發展了《九章算術》的消元法，創造了互乘消元法。

大衍術

主條目：大衍求一術

• 蓍卦發微，古歷會積，推計土功，推庫額錢，分糶推原，程行計地，程行相及，積尺尋源，余米推數。

天文曆法

• 古歷會積，求上元積年
• 推氣置歷，求冬至時間。
• 治歷推閏，
• 治歷演記，求上元積年。
• 綴術推星，計算木星的運行速度。
• 揆日究微。

版本

• 明 《永樂大典》 《數學九章》 十八卷
• 清 《四庫全書》 《數學九章》 三冊
• 清 道光 宜稼堂叢書 《數書九章》
• 商務印書館 叢書集成。《數書九章》一至五冊。#1269-#1273。按宜稼堂叢書本排印。
• 秦九韶 原著，王守義 遺著，李儼 審校：《數書九章新釋》。安徽科學技術出版社，1992。ISBN 7-5337-0788-5/O

參考文獻

來源

• 吳文俊 主編：《中國數學史大系》，第五卷，第三、四、五編。
• ［比利時］李倍始（Ulrich Libbrecht）: Chinese Mathematics in the Thirteen Century (The Shu-Shu-Chiu-Chang of Chin Chiu shao). Dover Publication. ISBN 0486446190
• 秦九韶 原著，王守義 遺著，李儼 審校：《數書九章新釋》。安徽科學技術出版社，1992。ISBN 7-5337-0788-5/O
• 吳文俊 主編：《秦九韶與數書九章》。北京師範大學出版社，1987。
• 李儼：《大衍求一術的過去和未來》。《李儼錢寶琮科學史全集》，卷6，116-163。遼寧教育出版社。