指數衰減

一個量以指數方式衰減，大的衰減常數使得該量消失的更快。這個圖顯示了對衰減常數為25，5，1，1/5和1/25時，橫坐標x從0到4的衰減曲線。

某個量的下降速度和它的值成比例，稱之為服從指數衰減。用符號可以表達為以下微分方程，其中N是指量，λ指衰減常數（或稱衰變常數）。

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.$

方程的一個解為：

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,$

這裏N(t)是與時間t有關的量，N₀ = N(0)是初始量，即在時間為零時候的量。

衰減速率的測定

平均壽命

如果這個衰減量是一個集合中的離散元素，可以計算元素留在集合中的平均時間長度。這被稱為平均壽命（一般稱壽命）。並且它可以被證明與衰減速率有關。

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}.$

平均時間（或被稱為指數時間常數）由此被看做一個簡單的縮放時間：

$N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }.\,$

因而，這是量減少到初始量的1/e所需要的時間。

類似的，下面所述的以2為底的指數縮放時間為半衰期

半衰期

主條目：半衰期

對多數人而言更加直觀的一個典型指數衰減是當量減少為初始量的一半所需要的時間。這個時間被稱為半衰期，表示為$t_{0.5}$。半衰期可以被寫作衰減常數或者平均壽命的形式：

$t_{0.5}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2.$

代入$\tau$

$N(t)=N_{0}2^{-t/t_{0.5}}.\,$

平均壽命$\tau$等於半衰期除以ln2，或：

$\tau ={\frac {t_{0.5}}{ln2}}\approx t_{0.5}\cdot 1.442695040888963\cdots$