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摺紙公理

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摺紙公理,又稱藤田-羽鳥公理藤田-賈斯汀公理,是摺紙數學的基本公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行,並且所有摺痕都是直線,那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作。

摺紙定理最早於1989年由雅克·賈斯汀(Jacques Justin)發現[1]。截至目前為止,共推衍了7個公理,其中,公理1-6又於1991年由意大利數學家藤田文章發現[2]。定理7也於2001年由羽鳥公士郎發現。賈斯汀和羅伯特·朗(Robert J. Lang)也同樣發現了公理7。

七個公理

前6個公理又叫做藤田公理,公理7由羽鳥公士郎發現,賈斯汀和羅伯特·朗(Robert J. Lang)也同樣發現了公理7。7條公理如下:

  1. 給定兩點 有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
  2. 給定兩點 ,有且僅有一種方法把 折到 上。
  3. 給定兩直線 ,可以把 折到 上。
  4. 給定一點 和一條直線 ,有且僅有一種方法過 折出 的垂線。
  5. 給定兩點 和一條直線 ,可以沿過 的直線將 折到 上。
  6. 給定兩點 和兩直線 ,可以一次將 分別折到 上。
  7. 給定一點 和兩直線 ,可以沿着 的垂線將 折到 上。

公理5可能有最多2個解,公理6可能有最多3個解,而尺規作圖的公理最多只有兩個解。所以,摺紙的作圖能力要強於尺規作圖。就是說,尺規作圖相當於在解二次方程,而摺紙幾何相當於解三次方程。因而諸如三等分角倍立方等尺規作圖無法解決的問題卻可以用摺紙幾何解決。但是公理6在實踐中需要將紙「滑動」,這其實相當於二刻尺作圖,這在標準的尺規作圖中是不被允許的。

羅伯特·朗證明了這七個公理已經是摺紙幾何的全部公理了。

公理 1

給定兩點 有且僅有一條摺痕同時過這兩點。

過平面上兩點對摺

以參數方程表示的話,過2點的直線可以表示為:

公理 2

給定兩點 ,有且僅有一種方法把 折到 上。

將一點折往另一點

這條公理相當於是作線段 垂直平分線。這可以通過以下四個步驟完成:

  • 使用公理1作出連結 的直線
  • 找到直線 中點
  • 找到垂直於 向量
  • 摺痕的參數方程表示為:

公理 3

給定兩直線 ,可以把 折到 上。

將一條線折到另一條上

這條公理相當於是找出 組成的角的平分線。假設 上任意兩點, 上任意兩點, 分別是 方向的單位向量:

如果兩直線不平行,它們的交點為:

其中

兩條直線所夾的一個角的平分線方向是:

摺痕的參數方程是:

這兩直線還有另一個角平分線,兩條角平分線互相垂直,且都過點 。而沿着任意一條角平分線折都能將 折到 上。但在實踐中可能因為交點的位置(比如交點在紙外)使沿着其中一條角平分線的摺疊無法實施。

如果兩條直線平行,那麼只要沿着兩直線中間的一條線(與兩直線平行,到兩直線距離相等)摺疊就可以將 折到

公理 4

給定一點 和一條直線 ,有且僅有一種方法過 折出 的垂線。

過一點折一條直線的垂線

向量 是垂直於 的單位向量,那麼摺痕的參數方程是:

公理 5

給定兩點 和一條直線 ,可以沿過 的直線將 折到 上。

將一點沿着過另一點的直線折到一條直線上

這個公理相當於找出和直線的交點,所以有最多2個解,最少也可能無解。這取決於直線 和以 為圓心, 的距離為半徑的圓的位置關係。如果直線和圓不相交則無解,相切則有1解,相交則有2解.

如果我們知道直線上兩點 ,那麼直線可以表示為:

如果圓心 ,半徑 。那麼這個圓可以表示為:

為了確定圓和直線的交點,將直線方程代入圓方程,得:

或者可以簡化為:

其中:

然後,只要解以下方程就能確定直線和圓的交點:

如果判別式 ,那麼方程無實數解,圓和直線沒有交點;如果辨別式等於0,那麼方程有一解,圓和直線相切;如果辨別式大於0,方程有兩解,圓和直線有兩個交點。令 是兩個交點(如果存在),那麼,我們可以得到線段如下:

摺痕 垂直平分 ,可以將 折到 。同樣,摺痕 垂直平分 ,可以將 折到 。只要應用公理2就可以找到垂直平分線。摺痕的參數方程是:

公理 6

給定兩點 和兩直線 ,可以一次將 分別折到 上。

這個公理相當於找到同時與兩條拋物線相切的直線,等價於解一個三次方程。兩條拋物線的焦點分別是 ,準線分別是

公理 7

給定一點 和兩直線 ,可以沿着 的垂線將 折到 上。

點作 的平行線,交 ,這個公理就是要找出線段 的垂直平分線。沿着這條垂直平分線折,就可以將 折到 上。

參考資料

  1. ^ Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), pp. 251–261.
  2. ^ Humiaki Huzita, 「Understanding Geometry through Origami Axioms」, The First International Conference on Origami in Education and Therapy (COET91) (1991)

外部連結