懸鏈線

懸鏈線（Catenary）是一種常用曲線，物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨着吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推導出數學模型。

它的公式為：

y=a\cosh {\frac {x}{a}}

或者簡單地表示為

y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}

其中cosh是雙曲餘弦函數， $a$ 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數， $x$ 軸為其準線。具體來說， $a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}$ ，其中 $g$ 是重力加速度， $\lambda$ 是線密度（假設繩子密度均勻），而 $T_{0}$ 是繩子上每一點處張力的水平分量，它取決於繩子的懸掛方式；若繩子兩端在同一水平面上，則下面的方程決定了 $a$

{\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}

其中L是繩子總長的一半，d是端點距離的一半。

方程的推導

表達式的證明

如右圖，設最低點 $A$ 處受水平向左的拉力 $H$ ，右懸掛點處表示為 $C$ 點，在 $AC$ 弧線區段任意取一段設為 $B$ 點，則 $AB$ 受一個斜向上的拉力 $T$ ，設 $T$ 和水平方向夾角為 $\theta$ ，繩子的質量為 $m$ ,受力分析有：

$T\sin \theta =mg$ ；

$T\cos \theta =H$ ，

$\tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}$ ，

$mg=\rho s$ ，　其中 $s$ 是右段 $AB$ 繩子的長度， $\rho$ 是繩子線重量密度， $\tan \theta$ 為切線方向，記 $a={\frac {\rho }{H}}$ , 代入得微分方程 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as$ ;

利用弧長公式 $\mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x$ ;

所以 $s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x$ ;

再把 $s$ 代入微分方程得 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)$