在數學中,微分算子(英語:Differential operator)是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上,將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的,它接受一個函數得到另一個函數[註 1][註 2]。
記號
最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括:、(在不會搞混哪個變量微分時),以及(指明了變量)。
一階導數如上所示,但當取更高階n-次導數時,下列替代性記號是有用的:、、。
記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽,他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子
另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子,定義為
另一個微分算子是Θ算子,定義為
有時候這也稱為齊次算子,因為它的本徵函數是關於z的單項式:
在n個變量中齊次算子由
給出。與單變量一樣,Θ的本徵空間是齊次多項式空間。
一個算子的伴隨
給定一個線性微分算子T
- ,
這個算子的伴隨定義為算子使得
這裏記號表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。
單變量中的形式伴隨
在平方可積函數空間中,數量積定義為
如果另外增添要求f或g當與等於零,我們也可定義T的伴隨為
此公式不明顯地取決於數量積的定義,故有時作為伴隨算子的一個定義。當用這個公式定義時,它稱為T的形式伴隨。
一個(形式)自伴算子是與它的(形式)伴隨相等的算子。
多變量
如果Ω是Rn中一個區域,而P是Ω上一個微分算子,則P在L2(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義:
對所有光滑L2函數f與g。因為光滑函數在L2中是稠密的,這在L2的一個稠密子集上定義了伴隨:: P*是一個稠定算子。
例子
施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式
這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。
這個算子在施圖姆-劉維爾理論(Sturm–Liouville theory)
中的關鍵,其中考慮了這個算子本徵函數(類比於本徵向量)。
微分算子的性質
微分是線性的,即
這裏f和g是函數,而a是一個常數。
任何以函數為係數之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則
複合微分算子。需要一些注意:首先算子D2中的任何函數係數必須具有D1所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環,我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二,這個環不是交換的:一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例,如在量子力學中的基本關係:
但這些算子的子環:D的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫:它由平移不變算子組成。
微分算子也服從移位定理(shift theorem)。
多變量
同樣的構造可對偏導數也成立,關於不同的變量微分給出可交換的算子[註 3]。
坐標無關描述以及與交換代數的關係
在微分幾何與代數幾何中,通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設與是流形上兩個向量叢。截面的一個-線性映射稱為一個k-階微分算子,如果它分解穿過節叢。換句話說,存在一個向量叢的線性映射
使得
這裏表示由,在截面上誘導的映射,而,是典範(或通用)k-階微分算子。
這恰好意味着對一個給定的截面 of ,在一個點的值完全由在的k-階無窮小行為決定。特別地這蘊含着由在的芽決定,這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理(Peetre theorem)證明了逆命題也是正確的:任何局部算子是微分。
線性微分算子的一個等價的,但純代數的描述如下:
一個-線性映射是一個k-階微分算子,如果對任何(k + 1)階光滑函數我們有
這裏括號定義為交換子
線性算子的這個刻畫說明,它們是一個交換代數上的模之間的一個特殊映射,使這個概念可視為交換代數的一部分。
例子
註釋
參見