龐加萊-本迪克松定理

在數學中，龐加萊-本迪克松定理是一個關於二維平面上的連續動力系統的軌道的變化趨勢的定理。

簡介

龐加萊-本迪克松定理說明了：如果在二維的平面上的連續動力系統的某一個解的軌道被限制在一個緊區域內，那麼在時間足夠長之後，這個軌道要麼逼近某一個奇點，要麼逼近某一個周期軌道（極限環）。因此，一維或者二維平面上的連續動力系統是不可能出現混沌現象的。混沌現象只可能出現在三維或以上維數空間上的連續動力系統中。但是要注意的是：龐加萊-本迪克松定理對離散動力系統不適用，也就是說混沌現象有可能在二維甚至一維的離散動力系統中發生（事實上的確如此）。

這個定理最早由龐加萊提出，但最初的版本比現在要弱，而且龐加萊本人並沒有給出一個完整的證明。本迪克松給出了現在的定理和完整的證明。

給定一個在二維平面上的單連通開集上定義的可微實值動力系統，則任意軌道的非空緊α-極限集合（或ω-極限集合），如果不包含奇點的話，都是周期軌道。

動力系統定義在二維平面上的條件是必須的。在環面上，非周期的遞歸軌道是可能存在的。

敘述

在下文中，Ω表示 R² 中的一個開集，f 是一個定義在 Ω 上的向量場，其值域在 R² 中，並且連續可微。自治微分方程 (1) 定義如下：

$(1)\quad {\frac {dx}{dt}}=f(x)$

設函數 s(t) 是一個定義在 R 的關於方程 (1) 的最大解。所謂的最大解，是指函數 s 定義在一個區間 I 上，並且沒有任何其它定義在區間 J 上的函數 r，使得區間 J 嚴格包含 I，r 與 s 在 I 上重合，並且 r 也是 (1) 的解（關於最大解的存在性和唯一性，參見柯西-利普希茨定理）。

龐加萊-本迪克松定理 ： 如果 s 的值域是在 Ω 上的一個緊集 K 上，那麼或者它的值趨於一個極限，也就是說軌道趨於一個點（稱為奇點）；或者它的軌道逼近於一個周期函數的軌道（這個軌道稱為極限環）。

應用

龐加萊-本迪克松定理的一個重要推論是二維平面上的動力系統不能產生奇異吸引子，如果系統內存在一個奇異吸引子，那麼它可以在相空間內被一個有界封閉的區域包住。當這個包圍的區域足夠小的時候，區域裏面將不會有任何穩定點。但根據龐加萊-本迪克松定理，這個區域裏的 C 將不會是一個奇異吸引子，因為它要麼是一個極限環，要麼逼近於一個極限環。

參見

• 極限環

參考來源

• 本迪克松, 伊瓦, Sur les courbes définies par des équations différentielles, Acta Mathematica (Springer Netherlands), 1901, 24 (1): 1–88, doi:10.1007/BF02403068 
• 龐加萊, H., Sur les courbes définies par une équation différentielle, Oeuvres 1, 巴黎, 1892