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龐加萊半平面模型

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龐加萊模型的星狀正則七邊形鑲嵌Order-3 heptagonal tiling)。

非歐幾里得幾何中,龐加萊半平面模型Poincaré half-plane model)是賦有龐加萊度量上半平面,這是二維雙曲幾何的一個模型。

它以昂利·龐加萊命名,但最初是貝爾特拉米Eugenio Beltrami)發現的,他用這個模型與克萊因模型以及龐加萊圓盤模型(屬於黎曼)證明了雙曲幾何與歐幾里得幾何相容性等價equiconsistent)。圓盤模型與半平面模型在共形映射下是等價的。

對稱群

射影線性群 PGL(2,C) 由莫比烏斯變換作用黎曼球面上。保持上半平面不動的子群是 PGL(2,R),這些變化的係數是實數,它們傳遞、等距作用在上半平面上,將它變成一個齊性空間

有四個非常相關的李群通過分式線性變換作用在上半平面上,且保持雙曲距離。

  • 由行列式為 +1 的 2×2 實矩陣組成的特殊線性群SL(2,R)。注意許多書籍經常說 SL(2,R),其實際是指 PSL(2,R)。
  • 由行列式為 +1 或 -1 組成的 2×2 實矩陣 S*L(2,R) 。注意 SL(2,R) 是這個群的一個子群。
  • 射影線性群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I},由 SL(2,R) 中矩陣模去正負恆同矩陣。
  • 群 PS*L(2,R) = S*L(2,R)/{±I} 同樣是射影群,同樣是模去正負恆同矩陣。

這些群與龐加萊模型的關係如下:

  • H 的所有等距的群,通常記做 Isom(H),同構於 PS*L(2,R)。這包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射(鏡映射)是
  • H 保持定向的等距,通常記做 Isom+(H),同構於 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一個經常見到的是模群 SL(2,Z)。這個群在兩個方面很重要。首先,它是正方形 2×2 點的對稱群。從而在一個方形網格中周期函數,比如模形式以及橢圓函數,將從這個網格繼承一個 SL(2,Z) 對稱。另一方面,SL(2,Z) 當然也是 SL(2,R) 的一個子群,從而嵌入其中有雙曲表現。特別地,SL(2,Z) 可用來將雙曲平面鑲嵌為等(龐加萊)面積的單元。

等距對稱

特殊線性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定義為

注意到這個作用是傳遞的,從而任何對 ,存在一個 使得 。這個作用也是忠實的:如果對 z 屬於 H,那麼 g=e

H 中一個元素 z 穩定子或迷向子群是所有 使 z 不變 gz=z 的集合。 的穩定子是旋轉群

由傳遞性,H' 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一個元素映為 ,這意味着任何 z 的迷向子群同構於 SO(2)。從而 H = PSL(2,R)/SO(2)。或者,上半平面上的切向量叢,稱為單位切叢,同構於 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z),上半平面鑲嵌成自由正則集合free regular set)。

測地線

這個度量張量的測地線是垂直於實數軸的圓弧(即圓心位於實軸上的半圓周)以及終於實軸的豎直直線。

經過 的單位速度豎直測地線為:

因為 PSL(2,R) 作為等距傳遞作用在上半平面,這條測地線通過 PSL(2,R) 的作用映到其它測地線。從而,一般的單位速度測地線由

給出。這給出了上半平面上單位長切叢(復線叢測地流的完整描述。

另見

參考文獻

  • Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
  • Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
  • John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.