廣義相對論中的開普勒問題 ，是指在廣義相對論 的框架下求解存在重力相互作用 的兩體動力學問題 。在典型情況下以及本文中，其中一個物體的質量
m
{\displaystyle m}
M
{\displaystyle M}
地球 繞太陽 公轉，以及一個光子 在一顆恆星 的重力場 中的運動等問題。在這些情形下，可以認為大質量
M
{\displaystyle M}
愛因斯坦場方程式 的史瓦西解 來描述；而小質量
m
{\displaystyle m}
測地線方程式 來描述。由於假設小質量
m
{\displaystyle m}
潮汐力 可忽略。
從測地線方程式可以推出廣義相對論的關鍵性實驗證據 ，著名的水星 近日點 的進動 ，以及光線在太陽重力場中的偏折。對於前者，廣義相對論為觀測到的這一現象提供了漂亮的解釋，而後者則是廣義相對論的著名預言，其正確性被亞瑟·愛丁頓 爵士的實驗觀測所證實。
廣義相對論的兩體問題中還涉及了重力輻射造成的軌道衰減，這是一個純粹的相對論效應，沒有對應的經典力學版本。這個問題並不包含在史瓦西解中，請參見重力輻射 和重力波天文學 。
沒有其他外力存在時，一個粒子在牛頓連心力 的作用下繞着另一個粒子公轉的軌道永遠是一個不變的橢圓穩定軌道。當有其他外力存在（例如來自其他行星的重力）時，這樣的軌道會逐漸發生轉動，這種轉動（被稱作軌道進動）的速率可以被測量得非常精確。如果知道了這些外力的大小和方向，通過牛頓力學也可以對這種軌道進動的速率進行理論預測。不過在1859年對水星軌道進動的觀測中，牛頓力學沒有給出和實驗觀察相一致的預言。 1859年，法國天文學家於爾班·勒威耶 發現水星的實際軌道進動與預期的並不十分相符：即使考慮到太陽系中其他行星 的影響，實際的進動速度還是要比牛頓 的經典理論稍微快一點。[ 1] 祝融星 」等。[ 2] :253-256 在這些解釋被一一否決後，有些物理學家提出了更激進的猜想，認為牛頓的重力平方反比律 並不嚴格成立。例如某些人提出定律中的指數並不嚴格為2，而某些人如亨德里克·勞侖茲 提出牛頓的萬有引力定律應增加與速度有關的重力勢修正項。[ 2] :254
1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論 ，這一理論否決了任何超過光速傳播的效應的可能性；不過同時，這也暗示了相對論的基本假設和牛頓天體力學的矛盾。拉普拉斯 早先在其研究中證明，如果重力相互作用不是超距的（即傳播是瞬時的），行星的運動將不再嚴格滿足動量守恆定律 （類似於電磁相互作用 中一部分動量 要傳遞給電磁相互作用的媒介子 ，重力相互作用中也需要攜帶動量的媒介子）。從牛頓力學的觀點來看，如果重力相互作用只能以有限速度傳播，那麼在任意時刻，行星受到的來自太陽的重力將不會指向太陽所在的即時位置，而是在若干時間之前的位置。在經典力學的基礎上，拉普拉斯推導出當重力以光速傳播時太陽系是不穩定的，並只能維持並不太長時間的存在。而對太陽系的實際觀測表明，如果重力的傳播速度確實存在一個上限，根據經典力學這個上限將比光速高出好幾個數量級。[ 3] :177
這種矛盾引出了建立一個替代牛頓重力理論的新理論的需求，這個新理論需要滿足狹義相對論的基本假設，並且在相對論效應可忽略時能夠和牛頓的重力理論相容。1907年愛因斯坦確認了建立一個狹義相對論的後繼理論的必要性，這個理論能夠同時包含狹義相對論的基本假設和萬有引力相互作用。[ 4] 等效原理 的基礎上逐漸發展了他的新理論。根據等效原理，一個均勻重力場對在其內所有物體的作用都是相同的，因此這個重力場將不能被一個處於自由落體 狀態的觀察者觀測到。歸納而言，所有局部的重力效應都可以在一個直線加速的非慣性參考系 中體現出來，這個原理反過來也成立，即加速參考系等效於一個局部的重力場。這樣看來，重力和離心力 以及科里奧利力 等慣性力 這樣的「虛擬力 」有相類似的效應：慣性力都來源於一個加速的非慣性系，並且和物體的慣性質量 成正比，重力亦然（由於慣性質量和重力質量 等價）。想要在等效原理的基礎上將萬有引力和狹義相對論的基本假設統一起來，需要犧牲的是經典力學中習以為常的基本假設：我們所處的時空是一個符合歐幾里得幾何 的平直時空。愛因斯坦使用的是一種更廣義的幾何學：黎曼幾何 ，在黎曼幾何描述下的時空可以是彎曲的。經過八年的研究，他成功得到了一個能夠包含重力理論的更具功能的相對論性理論：廣義相對論。廣義相對論要求時空是彎曲的，這種時空的彎曲性是重力的體現，也是一種物理上的實在，這和慣性力不過是假想的「虛力」完全不同。廣義相對論首先成功解釋了水星 近日點 的進動 誤差並預言了光線在太陽重力場中的偏折，這個預言在廣義相對論發表之後得到了實驗證實。[ 2] :ch. 9-15 [ 5] [ 6] :110ff
在經典的歐幾里得幾何中，三角形滿足勾股定理 （畢達哥拉斯定理），這意味着空間中兩點間的距離平方等於空間中所有完備正交分量平方和：
d
s
2
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}
這裏
d
x
{\displaystyle dx}
d
y
{\displaystyle dy}
d
z
{\displaystyle dz}
笛卡爾坐標系 下三個坐標軸
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
現在想像存在一個笛卡爾坐標不適用的世界，其間兩點的距離由下式描述：
d
s
2
=
F
(
x
,
y
,
z
)
d
x
2
+
G
(
x
,
y
,
z
)
d
y
2
+
H
(
x
,
y
,
z
)
d
z
2
{\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)dx^{2}+G(x,y,z)dy^{2}+H(x,y,z)dz^{2}}
這裏
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
球坐標系
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
進一步的想像可能會比較困難，但我們假設存在一個用來測量長度的尺子不再可靠的世界：尺子的長度會因其位置甚至擺放方向而改變。這是最一般的情況，在計算兩點間距離時需要考慮交叉項的存在：
d
s
2
=
g
x
x
d
x
2
+
g
x
y
d
x
d
y
+
g
x
z
d
x
d
z
+
⋯
+
g
z
y
d
z
d
y
+
g
z
z
d
z
2
{\displaystyle ds^{2}=g_{xx}dx^{2}+g_{xy}dxdy+g_{xz}dxdz+\cdots +g_{zy}dzdy+g_{zz}dz^{2}}
這裏九個函數
g
x
y
{\displaystyle g_{xy}}
度規 張量 ，它定義了黎曼幾何框架下的空間幾何。在球坐標系下交叉項不存在，它只包含有三個非零的張量元素。[ 7] :65-69
在狹義相對論中，愛因斯坦就已經指出空間中兩點的距離並不是恆量，而與觀察者的運動（即慣性參考系）有關。狹義相對論指出在任何慣性系 下觀測到的恆量是兩點間的時空間隔，這個間隔被稱作原時 。原時是一個相對論不變量，它與慣性參考系無關。[ 8] :ch. 2:19-18
c
2
d
τ
2
=
c
2
d
t
2
−
d
x
2
−
d
y
2
−
d
z
2
{\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}
在球坐標下這可以寫成
c
2
d
τ
2
=
c
2
d
t
2
−
d
r
2
−
r
2
d
θ
2
−
r
2
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}
這些公式都可以看作是畢達哥拉斯定理的自然推廣，它們僅在時空曲率為零時成立。但在廣義相對論的框架下，時間和空間都可以是彎曲的，這時的時空間隔需要寫成更一般的形式：
c
2
d
τ
2
=
g
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}
這裏的度規
g
{\displaystyle g}
愛因斯坦的重力場方程式 。愛因斯坦的重力理論不僅和當時已知的物理定律相容，它還成功預言了很多從未觀測到的物理現象，這些現象至今仍然不斷被實驗觀測所證實。
愛因斯坦場方程式的解的最簡單形式是史瓦西度規 ，它對應着一個不帶電荷 和角動量 的球對稱的質量
M
{\displaystyle M}
[ 8] :ch 2:19
c
2
d
τ
2
=
(
1
−
r
s
r
)
c
2
d
t
2
−
d
r
2
1
−
r
s
r
−
r
2
d
θ
2
−
r
2
sin
2
θ
d
φ
2
{\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}}
其中，
τ
{\displaystyle \tau }
c
{\displaystyle c}
t
{\displaystyle t}
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
r
s
{\displaystyle r_{s}}
M
{\displaystyle M}
史瓦西半徑 ，其關係為
r
s
=
2
G
M
c
2
{\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}
牛頓經典力學下重力的傳播速度無限大，與光速無關：這可以看作是在經典近似下史瓦西半徑趨於零，這時的史瓦西度規還原為狹義相對論的形式。在一般情形下，史瓦西半徑總是非常小的，例如地球的史瓦西半徑只有9毫米，[ 8] :ch 2:39 而一顆人造衛星 的同步軌道 半徑是它的四十億倍，為42164千米。即使是在地球表面，廣義相對論對牛頓重力的修正也只有十億分之一。然而在宇宙中的緻密星體如黑洞 和中子星 的周圍，廣義相對論的效應就變得非常明顯。
根據廣義相對論，質量可忽略的粒子在重力場中沿着測地線 運動。在無重力的平直時空中，測地線是直線；但當時空存在彎曲時，測地線由下面的測地線方程式 描述：[ 9] :185-201 [ 10] :156-157
d
2
x
μ
d
q
2
+
Γ
ν
λ
μ
d
x
ν
d
q
d
x
λ
d
q
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}
這裏
Γ
{\displaystyle \Gamma }
克里斯托費爾符號 而變量
q
{\displaystyle q}
世界線 ）參數化的參量。克里斯托費爾符號只和度規對於坐標的一階偏導數 有關（即描述了度規如何隨坐標變化）。[ 註 1] 類時 軌跡（速度小於光速的帶質量粒子的運動軌跡）而言，參數
q
{\displaystyle q}
類光 軌跡（呈光速的零質量粒子的運動軌跡），原時為零，因此嚴格來講不能將原時用作參數；不過類光可以看作是類時的極端相對論案例，有時從而可以通過取極限的方法，從類時的軌跡導出粒子質量為零時類光的軌跡，並保持總能量不變。
在度規具有對稱性 的場合下我們往往可以將問題簡化。例如史瓦西度規是關於平面
θ
=
π
/
2
{\displaystyle \theta =\pi /2}
θ
{\displaystyle \theta }
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
c
2
d
τ
2
=
(
1
−
r
s
r
)
c
2
d
t
2
−
d
r
2
1
−
r
s
r
−
r
2
d
φ
2
.
{\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}
從這個形式可得到兩個運動的守恆量，單位質量的角動量和單位質量的能量（參見下文註釋）[ 8] :ch 3:9, ch 4:4
r
2
d
φ
d
τ
=
L
m
,
{\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
=
E
m
c
2
.
{\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
將這兩個守恆量代入史瓦西度規中得到粒子的運動方程式
(
d
r
d
τ
)
2
=
E
2
m
2
c
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
c
2
+
L
2
m
2
r
2
)
.
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right).}
通過角動量
L
{\displaystyle L}
(
d
r
d
φ
)
2
=
(
d
r
d
τ
)
2
(
d
τ
d
φ
)
2
=
(
d
r
d
τ
)
2
(
m
r
2
L
)
2
,
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {mr^{2}}{L}}\right)^{2},}
這樣就得到了粒子的軌道方程式
(
d
r
d
φ
)
2
=
r
4
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
r
4
a
2
+
r
2
)
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}
其中的兩個長度參數
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
=
L
m
c
,
{\displaystyle a={\frac {L}{mc}},}
b
=
c
L
E
.
{\displaystyle b={\frac {cL}{E}}.}
利用最小作用量原理 [ 11] :389-393 或哈密頓-雅可比方程式 [ 12] :299-309 可得到相同形式的軌道方程式（見後文），軌道方程式的解為
φ
=
∫
d
r
r
2
1
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
1
a
2
+
1
r
2
)
.
{\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}
1919年亞瑟·愛丁頓 爵士所測量的星光在太陽重力場中的偏折實驗使得廣義相對論在全世界範圍內被廣為接受 對於上面的史瓦西度規中的粒子軌道方程式，當粒子質量趨於零（或長度參數
a
{\displaystyle a}
φ
=
∫
d
r
r
2
1
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
1
r
2
{\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}
將此式按
r
s
/
r
{\displaystyle r_{s}/r}
[ 10] :293-294
δ
φ
≈
2
r
s
b
=
4
G
M
c
2
b
.
{\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}
這裏長度參數
b
{\displaystyle b}
重力透鏡 的測量中它都相當精確，這是因為對大多數星體而言
r
s
/
r
{\displaystyle r_{s}/r}
[ 13]
從上面得到的史瓦西度規中的粒子運動方程式
(
d
r
d
τ
)
2
=
E
2
m
2
c
2
−
c
2
+
r
s
c
2
r
−
L
2
m
2
r
2
+
r
s
L
2
m
2
r
3
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}}
可通過代入史瓦西半徑的定義得到
1
2
m
(
d
r
d
τ
)
2
=
[
E
2
2
m
c
2
−
1
2
m
c
2
]
+
G
M
m
r
−
L
2
2
m
r
2
+
G
M
L
2
c
2
m
r
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}
這個運動方程式相當於一個質量為
m
{\displaystyle m}
勢阱 中運動，其有效位能為[ 10] :284
V
(
r
)
=
−
G
M
m
r
+
L
2
2
m
r
2
−
G
M
L
2
c
2
m
r
3
{\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}
式中前兩項是經典力學的結果：第一項是牛頓重力勢能 （負值表示吸引），第二項是具有排斥效應的離心位能；而第三項僅在廣義相對論中存在，它代表的是一個與距離立方成反比的吸引位能。從後文或其他文獻中可以看到，這種立方反比位能造成了粒子運動週期中橢圓軌道的逐漸相對論進動，每個週期內進動的角位移為[ 14] :157
δ
φ
≈
6
π
G
M
c
2
A
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}
其中
A
{\displaystyle A}
e
{\displaystyle e}
在
r
{\displaystyle r}
r
i
n
n
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
a
=
L
/
m
c
{\displaystyle a=L/mc}
不同角動量對應的有效徑向位能。半徑很小時，位能迅速下降，這使得粒子向
r
=
0
{\displaystyle r=0}
a
/
r
s
=
L
/
m
c
r
s
{\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
如果使用長度參數
a
{\displaystyle a}
V
{\displaystyle V}
V
(
r
)
=
m
c
2
2
[
−
r
s
r
+
a
2
r
2
−
r
s
a
2
r
3
]
{\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right]}
當有效力為零時，得到粒子的圓軌道：
F
=
−
d
V
d
r
=
−
m
c
2
2
r
4
[
r
s
r
2
−
2
a
2
r
+
3
r
s
a
2
]
=
0
{\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0}
有效力為零的含義即為吸引力（牛頓重力加廣義相對論的立方反比重力）和排斥力（等效的離心力）恰巧平衡。在兩個半徑上可以滿足這種平衡條件，它們被記為
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
r
i
n
n
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
[ 10] :286
r
o
u
t
e
r
=
a
2
r
s
(
1
+
1
−
3
r
s
2
a
2
)
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)}
r
i
n
n
e
r
=
a
2
r
s
(
1
−
1
−
3
r
s
2
a
2
)
=
3
a
2
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}}
其中靠內的半徑
r
i
n
n
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
r
{\displaystyle r}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
當長度參數
a
{\displaystyle a}
r
s
{\displaystyle r_{s}}
r
o
u
t
e
r
≈
2
a
2
r
s
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}}
r
i
n
n
e
r
≈
3
2
r
s
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}}
穩定軌道與不穩定軌道的半徑關於歸一化角動量
a
/
r
s
=
L
/
m
c
r
s
{\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
直接在經典理論下讓慣性離心力等於牛頓萬有引力：
m
ω
φ
2
r
=
G
M
m
r
2
{\displaystyle m\omega _{\varphi }^{2}r={\frac {GMm}{r^{2}}}}
這裏
ω
φ
{\displaystyle \omega _{\varphi }}
ω
φ
2
≈
G
M
r
o
u
t
e
r
3
=
(
r
s
c
2
2
r
o
u
t
e
r
3
)
=
(
r
s
c
2
2
)
(
r
s
3
8
a
6
)
=
c
2
r
s
4
16
a
6
{\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}
在另一種情形下，當
a
2
{\displaystyle a^{2}}
3
r
s
2
{\displaystyle 3r_{s}^{2}}
[ 10] :286
r
o
u
t
e
r
≈
r
i
n
n
e
r
≈
3
r
s
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}}
上面給出的
r
i
n
n
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
3
r
s
{\displaystyle 3r_{s}}
r
i
n
n
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }}
3
/
2
r
s
{\displaystyle 3/2r_{s}}
3
r
s
{\displaystyle 3r_{s}}
3
/
2
r
s
{\displaystyle 3/2r_{s}}
a
{\displaystyle a}
r
i
n
n
e
r
=
3
/
2
r
s
{\displaystyle r_{\mathrm {inner} }=3/2r_{s}}
光子球 」（photon sphere）。
在非相對論開普勒問題 中，粒子永遠沿着同樣的橢圓軌道運動（紅色軌道）。廣義相對論引入了第三種力的作用，這種力對粒子的吸引比牛頓重力稍強，特別是在軌道半徑很短的情形。這種力使行星的橢圓軌道產生進動（藍色軌道），現在實驗上已經測量了水星 、金星 和地球的相應進動。圖中黃色的點表示軌道的中心質量，例如太陽。 從史瓦西幾何中得到的徑向有效位能
V
{\displaystyle V}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{\mathrm {outer} }}
ω
r
2
=
1
m
[
d
2
V
d
r
2
]
r
=
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}
用有效位能
V
{\displaystyle V}
ω
r
2
=
(
c
2
r
s
2
r
o
u
t
e
r
4
)
(
r
o
u
t
e
r
−
r
i
n
n
e
r
)
=
ω
φ
2
1
−
3
r
s
2
a
2
{\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}
兩邊開平方並作二項式展開：
ω
r
=
ω
φ
(
1
−
3
r
s
2
4
a
2
+
⋯
)
{\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}
而後再乘以公轉的週期
T
{\displaystyle T}
δ
φ
=
T
(
ω
φ
−
ω
r
ω
φ
)
≈
2
π
(
3
r
s
2
4
a
2
)
=
3
π
m
2
c
2
2
L
2
r
s
2
{\displaystyle \delta \varphi =T\left({\frac {\omega _{\varphi }-\omega _{r}}{\omega _{\varphi }}}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}
這裏我們用到了
ω
T
=
2
π
{\displaystyle \omega T=2\pi }
a
{\displaystyle a}
r
s
{\displaystyle r_{s}}
[ 8] :C:9-10
δ
φ
≈
3
π
m
2
c
2
2
L
2
(
4
G
2
M
2
c
4
)
=
6
π
G
2
M
2
m
2
c
2
L
2
{\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}
根據開普勒第三定律 ，使用橢圓的半長軸
A
{\displaystyle A}
e
{\displaystyle e}
[ 15] :95
L
2
G
M
m
2
=
A
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)}
這樣就得到了上面看到的進動角位移公式
δ
φ
≈
6
π
G
M
c
2
A
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}
軌道方程式[ 16] :710-711
(
d
r
d
φ
)
2
=
r
4
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
r
4
a
2
+
r
2
)
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}
可以通過引入一個無因次量來化簡：
ζ
=
r
s
4
r
−
1
12
{\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}}
這時軌道方程式可表示為
(
d
ζ
d
φ
)
2
=
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
,
{\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}
這裏的無因次係數
g
2
{\displaystyle g_{2}}
g
3
{\displaystyle g_{3}}
g
2
=
1
12
−
r
s
2
4
a
2
,
g
3
=
1
216
+
r
s
2
24
a
2
−
r
s
2
16
b
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}}
這個微分方程式的解為
φ
−
φ
0
=
∫
d
ζ
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
.
{\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.}
其中無因次量
ζ
=
℘
(
φ
−
φ
0
)
{\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}
℘
{\displaystyle \wp }
g
2
{\displaystyle g_{2}}
g
3
{\displaystyle g_{3}}
魏爾施特拉斯橢圓函數 ，
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
對於軌道方程式[ 16] :713-714
(
d
ζ
d
φ
)
2
=
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
,
{\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}
如果右邊三次多項式的判別式
Δ
=
g
2
3
−
27
g
3
2
{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
三次方程式
G
(
ζ
)
=
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
=
0
{\displaystyle G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0}
有三個實根，
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
1
>
e
2
>
e
3
.
{\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}.}
在此情形下，方程式的解
ζ
=
℘
(
φ
−
φ
0
)
{\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}
橢圓函數 ，其中一個完全是實的：
ω
1
=
∫
e
1
∞
d
z
4
z
3
−
g
2
z
−
g
3
{\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
而另一個完全是虛的：
ω
3
=
i
∫
−
e
3
∞
d
z
4
z
3
−
g
2
z
−
g
3
{\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
剩下的那一個根對應着一個複數的半週期ω2 = -ω1 - ω3 。這三個半週期通過方程式與對應的三個根
e
i
{\displaystyle e_{i}}
i
{\displaystyle i}
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
近星點 或遠星點 ：
d
ζ
d
ϕ
=
0
w
h
e
n
ζ
=
℘
(
−
ω
i
)
=
e
i
{\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {when} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}}
由於
(
d
ζ
d
φ
)
2
=
G
(
ζ
)
=
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
=
4
(
ζ
−
e
1
)
(
ζ
−
e
2
)
(
ζ
−
e
3
)
,
{\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right),}
可以看到
ζ
{\displaystyle \zeta }
e
i
{\displaystyle e_{i}}
導數 的值為零。
不同軌道的定性性質取決於
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
ζ
=
e
2
{\displaystyle \zeta =e_{2}}
ζ
=
e
3
{\displaystyle \zeta =e_{3}}
ζ
=
−
1
/
12
{\displaystyle \zeta =-1/12}
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
e
1
{\displaystyle e_{1}}
在系統能量滿足不等式E 2 < m 2 c 4 的前提下，
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
ζ
=
℘
(
ϕ
−
ϕ
0
)
{\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})}
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
進動 的橢圓軌道，當粒子（或行星）從起始狀態開始演化時，其半徑在最小半徑
r
m
i
n
{\displaystyle r_{min}}
r
m
a
x
{\displaystyle r_{max}}
[ 16] :714
r
m
i
n
=
3
r
s
1
+
12
e
2
{\displaystyle r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}}
r
m
a
x
=
3
r
s
1
+
12
e
1
{\displaystyle r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}}}
它們分別對應着
ζ
{\displaystyle \zeta }
魏爾施特拉斯橢圓函數 的實數週期為
2
ω
1
{\displaystyle 2\omega _{1}}
2
ω
1
{\displaystyle 2\omega _{1}}
2
ω
1
{\displaystyle 2\omega _{1}}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
這是2e 2 = 2e 3 = −e 1 的特殊情形，即方程式
G
(
ζ
)
{\displaystyle G(\zeta )}
ζ
{\displaystyle \zeta }
e = e 2 = e 4 ，這個解對應着經典的圓軌道，即上面得到的半徑為
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{outer}}
r
o
u
t
e
r
{\displaystyle r_{outer}}
3
r
s
{\displaystyle 3r_{s}}
軌道半徑趨於無窮大對應着粒子飛向無限遠處，這時
ζ
{\displaystyle \zeta }
e 2 ≤ −1/12 ≤ ζ ≤ e 3 。
當-e 3 = 2e 2 = 2e 1 ，
ζ
{\displaystyle \zeta }
e 3 是負值。將重根代換為
e
=
n
2
/
3
{\displaystyle e=n^{2}/3}
φ
{\displaystyle \varphi }
ζ
=
r
s
4
r
−
1
12
=
e
−
n
2
cosh
2
n
φ
.
{\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.}
可以將這個解代回方程式驗證。當
φ
{\displaystyle \varphi }
r
s
4
r
−
1
12
=
e
.
{\displaystyle {\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.}
在這種情形下，粒子的軌道半徑一定處於
2
r
s
{\displaystyle 2r_{s}}
3
r
s
{\displaystyle 3r_{s}}
漸近的圓軌道也可以通過用雅可比橢圓函數 來表示魏爾施特拉斯橢圓函數得到：
ζ
=
℘
(
ϕ
−
ϕ
0
)
=
e
1
+
(
e
1
−
e
3
)
c
n
2
w
s
n
2
w
{\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}}
這裏
w
=
(
ϕ
−
ϕ
0
)
e
1
−
e
3
{\displaystyle w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}
k
=
e
2
−
e
3
e
1
−
e
3
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}
在e 2 趨於e 1 的極限下，模數趨於1，而
w
{\displaystyle w}
n
(
φ
−
φ
0
)
{\displaystyle n(\varphi -\varphi _{0})}
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
i
k
′
{\displaystyle ik^{\prime }}
當
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
e 1 ，這使得軌道方程式
(
d
ζ
d
φ
)
2
=
4
ζ
3
−
g
2
ζ
−
g
3
=
4
(
ζ
−
e
1
)
(
ζ
−
e
2
)
(
ζ
−
e
3
)
{\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)}
對於所有大於e 1 的
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
r
=
0
{\displaystyle r=0}
實驗上觀測到的脈衝雙星PSR B1913+16的軌道週期變化（圖中藍色的點）和廣義相對論的理論預測（圖中黑色的曲線）完全吻合 根據廣義相對論，兩個互相繞轉的質量例如雙星系統 會發出重力輻射，由重力輻射攜帶的能量會讓它們的軌道稍微偏離測地線方程式所得到的結果。關於這一問題的最著名間接驗證是由拉塞爾·赫爾斯 和約瑟夫·泰勒 對一個脈衝雙星PSR B1913+16的觀測，兩人因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎 。系統內的兩顆中子星 距離非常接近，且繞轉速度非常之快，測量到的一個週期時長大約僅為465分鐘。兩顆中子星的軌道是高度橢圓的，離心率達到0.62。按照廣義相對論的預言，這樣短的軌道週期和高度的偏心軌道使得這個雙星系統成為一個非常好的重力波源，通過重力輻射損失的能量使軌道逐漸衰減，軌道週期逐漸變短。通過長達三十年的實驗觀測，即使是在可以達到的最精確的測量下軌道週期的降低和廣義相對論的預言仍符合得相當好。廣義相對論還預言，再過三億年後這兩顆恆星最終會碰撞到一起。
開普勒問題中因重力輻射導致的能量和角動量 的損耗公式已經通過計算得到[ 17] [ 12] :356-357
−
⟨
d
E
d
t
⟩
=
32
G
4
m
1
2
m
2
2
(
m
1
+
m
2
)
5
c
5
a
5
(
1
−
e
2
)
7
/
2
(
1
+
73
24
e
2
+
37
96
e
4
)
{\displaystyle -\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}
這裏e是橢圓軌道的離心率，a是半長軸。方程式左邊的角括號表示是在一個軌道週期內取平均值。類似的，角動量的平均變化率為
−
⟨
d
L
z
d
t
⟩
=
32
G
7
/
2
m
1
2
m
2
2
m
1
+
m
2
5
c
5
a
7
/
2
(
1
−
e
2
)
2
(
1
+
7
8
e
2
)
{\displaystyle -\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}
週期減少率
P
b
{\displaystyle P_{b}}
[ 17] [ 18]
−
⟨
d
P
b
d
t
⟩
=
192
G
5
/
3
m
1
m
2
(
m
1
+
m
2
)
−
1
/
3
5
c
5
(
1
−
e
2
)
7
/
2
(
1
+
73
24
e
2
+
37
96
e
4
)
(
P
b
2
π
)
−
5
/
3
{\displaystyle -{\Bigl \langle }{\frac {dP_{b}}{dt}}{\Bigr \rangle }={\frac {192G^{5/3}m_{1}m_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)({\frac {P_{b}}{2\pi }})^{-5/3}}
軌道的離心率越接近於1，即橢圓軌道形狀越瘦長時，能量和角動量的損耗就越快；而半長軸越短軌道的衰減也越快
開普勒運動的軌道方程式也可以通過哈密頓-雅可比方程式 推導出。這種方法的好處是它可以將一個粒子的運動等價於一束波的傳播，這就很容易進而通過費馬原理 推導出光線在重力場中的偏折公式。這種方法的解釋是，由於重力場的延時效應，一束波的波前靠近中心質量
m
{\displaystyle m}
使用一般的協變性 ，一個粒子在任意坐標下的哈密頓-雅可比方程式可以表示為[ 19] :649,1188 [ 12] :328-330
g
μ
ν
∂
S
∂
x
μ
∂
S
∂
x
ν
=
m
2
c
2
.
{\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.}
特別地，在史瓦西度規下
1
c
2
(
1
−
r
s
r
)
(
∂
S
∂
t
)
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
∂
S
∂
r
)
2
−
1
r
2
(
∂
S
∂
φ
)
2
=
m
2
c
2
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2}}
這裏我們仍然選取了軌道平面位於
θ
=
π
/
2
{\displaystyle \theta =\pi /2}
球坐標系 。假設哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
可分離變量 的，則其應具有如下形式：
S
=
−
E
t
+
L
φ
+
S
r
(
r
)
{\displaystyle S=-Et+L\varphi +S_{r}(r)}
這裏
E
{\displaystyle E}
L
{\displaystyle L}
S
r
(
r
)
{\displaystyle S_{r}(r)}
S
r
(
r
)
=
∫
L
d
r
1
−
r
s
r
1
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
1
a
2
+
1
r
2
)
.
{\displaystyle S_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.}
對這個主函數求偏導數 ：
∂
S
∂
L
=
φ
+
∂
S
r
∂
L
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\mathrm {constant} }
將滿足上面得到的軌道方程式
(
d
r
d
φ
)
2
=
r
4
b
2
−
(
1
−
r
s
r
)
(
r
4
a
2
+
r
2
)
.
{\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}
這種方法也可以精緻地推導出軌道的進動率。
在質量趨於零（或
a
{\displaystyle a}
S
r
(
r
)
=
E
c
∫
d
r
r
2
(
r
−
r
s
)
2
−
b
2
r
(
r
−
r
s
)
{\displaystyle S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}}}
從這個公式可以導出光線在重力場中的偏振公式。
在廣義相對論中，無質量粒子在時空中的運動軌跡是測地線 ，這是等效原理 的要求。從最小作用量原理 的觀點來看，測地線長度的變分 為零，即：[ 12] :263-264
0
=
δ
s
=
δ
∫
d
s
=
δ
∫
g
μ
ν
d
x
μ
d
τ
d
x
ν
d
τ
d
τ
=
δ
∫
2
T
d
τ
{\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }
這裏
τ
{\displaystyle \tau }
s
=
c
τ
{\displaystyle s=c\tau }
T
{\displaystyle T}
2
T
=
c
2
=
(
d
s
d
τ
)
2
=
g
μ
ν
d
x
μ
d
τ
d
x
ν
d
τ
=
(
1
−
r
s
r
)
c
2
(
d
t
d
τ
)
2
−
1
1
−
r
s
r
(
d
r
d
τ
)
2
−
r
2
(
d
φ
d
τ
)
2
{\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}
其物理意義類似於經典力學中的動能。如果將時空坐標的四維分量對原時的導數寫成
x
˙
μ
=
d
x
μ
d
τ
{\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}
則
T
{\displaystyle T}
[ 16] :708-709
2
T
=
c
2
=
(
1
−
r
s
r
)
c
2
(
t
˙
)
2
−
1
1
−
r
s
r
(
r
˙
)
2
−
r
2
(
φ
˙
)
2
{\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}
常數因數的引入對變分問題的結果不會造成影響，因此在積分內取變分仍滿足哈密頓原理 ：
0
=
δ
∫
2
T
d
τ
=
∫
δ
T
2
T
d
τ
=
1
c
δ
∫
T
d
τ
.
{\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}
從拉格朗日方程式 可以得到變分問題的解
d
d
τ
(
∂
T
∂
x
˙
σ
)
=
∂
T
∂
x
σ
.
{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}
對變量
t
{\displaystyle t}
φ
{\displaystyle \varphi }
d
d
τ
[
r
2
d
φ
d
τ
]
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,}
d
d
τ
[
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
]
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}
進一步可寫成
L
{\displaystyle L}
E
{\displaystyle E}
r
2
d
φ
d
τ
=
L
m
,
{\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
=
E
m
c
2
.
{\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
這也是上面看到的從史瓦西度規直接得到的結果。
只受到重力作用的粒子的作用量 為[ 16] :313ff
S
=
∫
−
m
c
2
d
τ
=
−
m
c
∫
c
d
τ
d
q
d
q
=
−
m
c
∫
g
μ
ν
d
x
μ
d
q
d
x
ν
d
q
d
q
{\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}}
其中
q
{\displaystyle q}
世界線 可微化的參數，對這個作用量使用變分法就可以得到測地線方程式。不過如果我們對被積函數的平方求變分過程會更簡單，根據度規這個平方的形式為
(
c
d
τ
d
q
)
2
=
g
μ
ν
d
x
μ
d
q
d
x
ν
d
q
=
(
1
−
r
s
r
)
c
2
(
d
t
d
q
)
2
−
1
1
−
r
s
r
(
d
r
d
q
)
2
−
r
2
(
d
φ
d
q
)
2
{\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}}
取變分
δ
(
c
d
τ
d
q
)
2
=
2
c
2
d
τ
d
q
δ
d
τ
d
q
=
δ
[
(
1
−
r
s
r
)
c
2
(
d
t
d
q
)
2
−
1
1
−
r
s
r
(
d
r
d
q
)
2
−
r
2
(
d
φ
d
q
)
2
]
{\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]}
如果我們只對
φ
{\displaystyle \varphi }
2
c
2
d
τ
d
q
δ
d
τ
d
q
=
−
2
r
2
d
φ
d
q
δ
d
φ
d
q
{\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}}
兩邊除以
2
c
d
τ
d
q
{\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}
c
δ
d
τ
d
q
=
−
r
2
c
d
φ
d
τ
δ
d
φ
d
q
=
−
r
2
c
d
φ
d
τ
d
δ
φ
d
q
{\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}}
代入哈密頓原理的方程式
0
=
δ
∫
c
d
τ
d
q
d
q
=
∫
c
δ
d
τ
d
q
d
q
=
∫
−
r
2
c
d
φ
d
τ
d
δ
φ
d
q
d
q
{\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}}
通過分部積分法
0
=
−
r
2
c
d
φ
d
τ
δ
φ
−
∫
d
d
q
[
−
r
2
c
d
φ
d
τ
]
δ
φ
d
q
{\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}}
在端點處緯度的變分為零，因此等式右邊第一項為零；對於第二項，由於
δ
φ
{\displaystyle \delta \varphi }
d
d
q
[
−
r
2
c
d
φ
d
τ
]
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0}
如果我們只對
t
{\displaystyle t}
2
c
2
d
τ
d
q
δ
d
τ
d
q
=
2
(
1
−
r
s
r
)
c
2
d
t
d
q
δ
d
t
d
q
{\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}}
類似地，兩邊除以
2
c
d
τ
d
q
{\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}
c
δ
d
τ
d
q
=
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
δ
d
t
d
q
=
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
d
δ
t
d
q
{\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}}
根據哈密頓原理
0
=
δ
∫
c
d
τ
d
q
d
q
=
∫
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
d
δ
t
d
q
d
q
{\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}}
分部積分
0
=
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
δ
t
−
∫
d
d
q
[
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
]
δ
t
d
q
{\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}}
得到運動方程式
d
d
q
[
c
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
]
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0}
對這兩個方程式積分並指定積分常數就可以得到上面關於守恆量的方程式
r
2
d
φ
d
τ
=
L
m
,
{\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}
(
1
−
r
s
r
)
d
t
d
τ
=
E
m
c
2
.
{\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}
對於能量和角動量是常數的系統，這兩個方程式可以合併為一個並且對光子這樣的無質量粒子同樣成立，此時沿着所描述的測地線的原時總為零。
r
2
b
c
d
φ
d
t
=
1
−
r
s
r
{\displaystyle {\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}}
^ 克里斯托費爾符號以方程式表示為
Γ
k
l
i
=
1
2
g
i
m
(
∂
g
m
k
∂
x
l
+
∂
g
m
l
∂
x
k
−
∂
g
k
l
∂
x
m
)
{\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)}
^ Le Verrier, UJJ . Unknown title. Comptes Revues d'Academie de la Science de Paris. 1859, 49 : 379–?. ^ 2.0 2.1 2.2 Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-520438-7 . ^ Sergei Kopeikin; Michael Efroimsky; George Kaplan. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. John Wiley & Sons. 25 October 2011. ISBN 978-3-527-63457-6 ^ Einstein, A., Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen (On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from It), Jahrbuch der Radioaktivität (Yearbook of Radioactivity): 411–462 ^ Janssen, Michel, Of pots and holes: Einstein's bumpy road to general relativity , Ann. Phys. (Leipzig), 2005, 14 (S1): 58–85 [2014-03-14 ] , Bibcode:2005AnP...517S..58J doi:10.1002/andp.200410130 原始內容 (PDF) 存檔於2020-08-25） ^ Kennefick, Daniel, Astronomers Test General Relativity: Light-bending and the Solar Redshift, Renn, Jürgen (編), Albert Einstein: One hundred authors for Einstein, Wiley-VCH: 178–181, 2005, ISBN 3-527-40574-7 ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics , Trafford Publishing, 2001 [2014-03-14 ] , ISBN 978-1553691334原始內容 存檔於2020-01-06） ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Taylor, edwin; John Wheeler, Edmund Bertschinger, Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity 2nd, Pearson College Div, 2011, ISBN 9780321512864 ^ Weinberg, S. Gravitation and Cosmology . New York: John Wiley and Sons. 1972. ISBN 978-0-471-92567-5
^ 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 Bernard Schutz. A First Course in General Relativity . Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2 ^ Whittaker, ET. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies 4th ed. New York: Dover Publications. 1937: pp. 389–393. ISBN 978-1-114-28944-4 ^ 12.0 12.1 12.2 12.3 Landau, LD; Lifshitz, EM. The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics, Vol. 2) revised 4th English ed. New York: Pergamon Press. 1975. ISBN 978-0-08-018176-9 ^ Brown, Kevin. Bending Light . Reflections on Relativity. [Mar 15, 2014] . （- 6.3 原始內容 存檔於2014-07-31）. ^ John Earman; Michel Janssen; John D. Norton. The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity. Springer. 1 December 1993. ISBN 978-0-8176-3624-1 ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023（英語） ^ 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 Gerd Baumann. Mathematica for Theoretical Physics: Electrodynamics, Quantum Mechanics, General Relativity, and Fractals . Springer. 16 January 2006 [2014-03-16 ] . ISBN 978-0-387-25113-4存檔 於2014-06-30）. ^ 17.0 17.1 Peters PC, Mathews J. Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit. Physical Review. 1963, 131 : 435–440. Bibcode:1963PhRv..131..435P doi:10.1103/PhysRev.131.435 ^ Weisberg, J.M.; Taylor, J.H. The Relativistic Binary Pulsar B1913+16: Thirty Years of Observations and Analysis . F.A. Rasio and I.H. Stairs (eds.) (編). ASP Conference Series 328 . Aspen, Colorado, USA: Astronomical Society of the Pacific: 25. July 2005 [2014-03-16 ] . Bibcode:2005ASPC..328...25W arXiv:astro-ph/0407149 存檔 於2011-07-25）. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973. ISBN 0-7167-0344-0
Hagihara, Y. Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild. Japanese Journal of Astronomy and Geophysics. 1931, 8 : 67–176. ISSN 0368-346X
基礎概念 現象 方程式 進階理論 精確解 近似解與數值模擬 科學家
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5318d7d3eb4d8c6b9e66dbf0effffc5297383e75)
![{\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dc9d62dd01e10253063b8383c4cd9b055d5d27)
![{\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88f2da9ae5e8b7b5bd74690d22f4996401b536c)
![{\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894cef5f743b66cd47bfe665608a9fff3e703799)
![{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7587be0611673e3ad751e0db29a70635d76108)
![{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43df66c44d864551699f249c91284633e11a414)
![{\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aca95a35ae6a9911e1399bd759b8ad167d4cffd)
![{\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a396d0dc7e209a343b1633faeaa37953cb250d63)
![{\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da37d5aeba3fee4873426b62835abfb109cda2a)
![{\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9416a3e0124397cc488193c1d4cd41e2c81dcd)
![{\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9493bddcfc4668a0946abc50b36949dfe5e472f5)
. （原始內容存檔於2011-07-25）.
