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平均數不等式

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平均數不等式,或稱平均值不等式均值不等式,是數學上的一組不等式,也是算術-幾何平均值不等式的推廣。它是說:


其中:

若且唯若 ,等號成立。

即對這些正實數:調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數(方均根)

簡記為:「調幾算方

時的情形

  • 第一個不等號
  • 第二個不等號
  • 第三個不等號

證明方法

關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裏簡要介紹數學歸納法證明n維形式的均值不等式的方法:

用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。

引理:設,則,且僅當時取等號。

引理的正確性較明顯,條件可以弱化為,可以用數學歸納法證明。

原題等價於:,若且唯若時取等號。

時易證;

假設當時命題成立,即,若且唯若時取等號。

那麼當時,不妨設中最大者,則

,根據引理

,若且唯若時,即時取等號。

此外,人教版高中數學教科書《選修4-5 不等式選講》也介紹了一個運用數學歸納法的證明方法[1]

先運用數學歸納法證明一個引理:若是正整數)個正數的乘積,則它們的和,若且唯若時等號成立。

此引理證明如下:

時命題為:若,則,若且唯若時等號成立。命題顯然成立。

假設當時命題成立,則現在證明當時命題也成立。

若這個數全部是1,即,則命題顯然成立。

若這個數不全是1,則易證明必存在使。不妨設。由歸納假設,因為,所以,記此式為①式。由,知,則,整理得,記此式為②式。①+②得,整理得(此時等號不成立),命題成立。

綜上,由數學歸納法,引理成立。

現在為了證明平均值不等式,考慮個正數,它們的積為1,由引理,它們的和,若且唯若時等號成立。

整理即得:,若且唯若時等號成立。於是得證。

利用,易證。考慮個正數,有,若且唯若時等號成立。兩邊取倒數整理得,若且唯若時等號成立,即

等價於。事實上,等於方差,通過這個轉化可以證出,證明如下。

若且唯若時等號成立。

利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等方法。

參見

  1. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-5 不等式选讲. 人民教育出版社. 2007: 52. ISBN 978-7-107-18675-2.