跳至內容

對數正態分佈

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書
對數正態分佈
機率密度函數
Plot of the Lognormal PMF
μ=0
累積分佈函數
Plot of the Lognormal CMF
μ=0
參數
值域
機率密度函數
累積分佈函數
期望值
中位數
眾數
變異數
偏度
峰度
動差母函數 (參見原始動差文本)
特徵函數 is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

機率論統計學中,任意隨機變量對數服從正態分佈,則這個隨機變量服從的分佈稱為對數正態分佈。如果 是正態分佈的隨機變量,則 指數函數)為對數正態分佈;同樣,如果 是對數正態分佈,則 為正態分佈。 如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積,則這個變量可以看作是對數正態分佈。一個典型的例子是股票投資的長期收益率,它可以看作是每天收益率的乘積。 對於 ,對數正態分佈的機率密度函數

其中 分別是變量對數平均值標準差。它的期望值

方差

給定期望值與方差,也可以用這個關係求

與幾何平均值和幾何標準差的關係

對數正態分佈、幾何平均數幾何標準差是相互關聯的。在這種情況下,幾何平均值等於 ,幾何標準差等於

如果採樣數據來自於對數正態分佈,則幾何平均值與幾何標準差可以用於估計置信區間,就像用算術平均數與標準差估計正態分佈的置信區間一樣。

置信區間界 對數空間 幾何
3σ 下界
2σ 下界
1σ 下界
1σ 上界
2σ 上界
3σ 上界

其中幾何平均數 ,幾何標準差

原始為:

或者更為一般的矩

局部期望值

隨機變量 在閾值 上的局部期望值定義為

其中 是機率密度。對於對數正態機率密度,這個定義可以表示為

其中 是標準正態部分的累積分佈函數。對數正態分佈的局部期望值在保險業及經濟領域都有應用,著名的Black-Scholes期權定價公式便可由此推導出。

參數的最大概似估計

為了確定對數正態分佈參數 最大概似估計,我們可以採用與正態分佈參數最大概似估計同樣的方法。我們來看

其中用 表示對數正態分佈的機率密度函數,用 — 表示正態分佈。因此,用與正態分佈同樣的指數,我們可以得到對數最大概似函數:

由於第一項相對於 來說是常數,兩個對數最大概似函數 在同樣的 處有最大值。因此,根據正態分佈最大概似參數估計器的公式以及上面的方程,我們可以推導出對數正態分佈參數的最大概似估計

相關分佈

  • 如果 ,則 正態分佈
  • 如果 是有同樣 參數、而 可能不同的統計獨立對數正態分佈變量 ,並且 ,則 也是對數正態分佈變量:

進一步的閱讀資料

參考文獻

  • 對數正態分佈, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
  • Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues頁面存檔備份,存於互聯網檔案館, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
  • 對數正態分佈特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
  • Eric W. Weisstein et al. 對數正態分佈頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

參見