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威爾遜定理

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威爾遜定理是以英格蘭數學家愛德華·華林的學生約翰·威爾遜命名的,儘管這對師生都未能給出證明。華林於1770年提出該定理,1771年由拉格朗日首次證明[1]

初等數論中,威爾遜定理給出了判定一個自然數是否為質數充分必要條件。即:若且唯若為質數時:

證明

充分性

如果 不是質數,那麼它的正因數必然包含在整數 中,因此 ,所以不可能得到

必要性

是質數,取集合 , 則構成模乘法的縮系,即任意 ,存在 ,使得:

這幾乎說明中的元素恰好兩兩配對。僅有滿足

的元素是例外。

上式解得

其餘兩兩配對,故而

不是質數且大於4, 則易知有

故而

推論

可以藉此推論如下:

參考文獻

  1. ^ Joseph Louis Lagrange. Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers [某條質數新定理的證明]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin). 1771, 2: 125–137 [2021-11-08]. (原始內容存檔於2022-05-11) (法語).