奇異數 (數論)

在數論中，奇異數（或稱奇怪數）是指不是半完全數的豐數， 也就是說此自然數之所有真因數（即小於此自然數之正因數）之和比此數自身大（豐數的定義），但其真因數不論如何組合，其和都不等於此自然數（因此不是半完全數）。

許多的豐數都是半完全數，如12的真因數有1, 2, 3, 4, 6，總和為16>12，因此為一豐數，但2+4+6=12，因此12也是半完全數，大多數的豐數都可以找到部份真因數，使其和等於本身。若豐數的真因數和都不等於本身，即為奇異數。

舉例

最小的奇異數是70，其真因數有1, 2, 5, 7, 10, 14及35，總和為74，其中無法找到一組子集合，使其總和為70。因此70是奇異數。

奇異數有無窮多個，最小的一些奇異數是：70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... （OEIS數列A006037）。

性質

存在無限多個奇異數。例如，70p為奇異數，針對大於等於149的質數p都成立。實際上，奇異數集合的自然密度為正值。

目前已知的奇異數均為偶數，還不確定是否存在奇數的奇異數，若其存在，其數值必大於10²¹。

Sidney Kravitz證明針對正整數k，Q是超過2^k的質數，且

$R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}$

也是2^k的質數，則

$n=2^{k-1}QR$

是奇異數。

Sidney Kravitz根據此公式，找到最大的奇異數

$n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.$

參見

• 豐數
• 半完全數