哈代-李特爾伍德極大函數

數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。

定義

對一個在$\mathbb {R} ^{n}$上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf如下

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)$

（Mf(x)可能是$\infty$。） 其中m是$\mathbb {R} ^{n}$上的勒貝格測度。

性質

Mf(x)是下半連續函數。

證明

對任何$x\in \mathbb {R} ^{m}$，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

$c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c$

存在$\delta >0$使得$(r/(r+\delta ))^{n}>c/c_{1}$。 對任何$x'\in B(x,\delta )$，有$B(x,r)\subset B(x',r+\delta )$ 所以

${\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}$

因此Mf是下半連續。

哈代－李特爾伍德極大不等式

設$f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})$為可積函數，對任何常數$c>0$，有不等式

$m(\{Mf>c\})\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}$

證明

對每個在集合$\{Mf>c\}$內的點x，都有$r_{x}>0$，使得

${\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c$

設K為$\{Mf>c\}$內的緊集。開球$(B(x,r_{x}))_{x\in K}$是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋$(B(x_{i},r_{i}))_{i=1}^{N}$。（$r_{i}:=r_{x_{i}}$）

用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集$(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))_{i_{j}}$，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後$B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}})$可以覆蓋K。於是

${\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}$

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合$\{Mf>c\}$的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有

$m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}$

應用

哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。

參考

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.