吉洪諾夫空間

在拓撲學和相關的數學領域中，吉洪諾夫空間或完全正則空間是特定優良種類的拓撲空間。這些條件是分離公理的個例。

吉洪諾夫空間得名於安德列·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫。

定義

假定 X 是拓撲空間。

X 是完全正則空間，當且僅當給定任何閉集 F 和任何不屬於 F 的點 x，存在從 X 到實直線 R 的連續函數 f 使得 f(x) 為 0 和 f(y) 為 1 對於所有 F 中的 y。用「空想家」術語來說，這個條件聲稱 x 和 F 可以由函數分離。

X 是吉洪諾夫空間或 T_3½ 空間或 T_π空間或完全 T₃ 空間，當且僅當它是完全正則空間和郝斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語「完全正則」和涉及「T」的術語使用了不同的定義。我們這裏給出的定義是今天最常用；但是某些作者切換了兩類術語的意義，或者把它們用做同一個條件的同義詞。在這裏，我們直率的使用術語「完全正則」和「吉洪諾夫」，但避免不太明晰的術語「T」。在其他文獻中，你應該仔細找出作者使用的是什麼術語。(短語「完全正則郝斯多夫」總是無歧義的意味着吉洪諾夫空間。)更多詳情可參見分離公理的歷史。

完全正則空間和吉洪諾夫空間通過科摩哥洛夫商關聯起來的。拓撲空間是吉洪諾夫空間，當且僅當它是完全正則空間和T₀ 空間二者。在另一方面，一個空間是完全正則空間，當且僅當它的科摩哥洛夫商是吉洪諾夫空間。

例子和反例

在數學分析中研究的幾乎所有拓撲空間都是吉洪諾夫空間，或至少是完全正則空間。例如，實直線是在標準歐幾里德拓撲下的吉洪諾夫空間。其他例子包括:

• 所有度量空間是吉洪諾夫空間；所有偽度量空間是完全正則空間。
• 所有局部緊緻正則空間是完全正則的，因此所有局部緊緻郝斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
• 特別是，所有拓撲流形是吉洪諾夫空間。
• 所有全序集合帶有序拓撲是吉洪諾夫空間。
• 所有拓撲群是完全正則空間。
• 推廣了度量空間和拓撲群二者，所有均勻空間都是完全正則的。反過來也是真的: 所有完全正則空間是可一致化的。
• 所有CW複形是吉洪諾夫空間。
• 所有正規正則空間是完全正則的，而所有正規郝斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
• Niemytzki平面是吉洪諾夫空間但非正規空間的一個例子。

性質

保持

完全正則性和吉洪諾夫性質關於始拓撲是表現良好的。特別是，選取任意始拓撲保持完全正則性，選取點分離始拓撲保持吉洪諾夫性質。可得出:

• 所有完全正則空間或吉洪諾夫空間的子空間都有相同的性質。
• 非空乘積空間是完全正則(或吉洪諾夫的)，當且僅當每個函子空間是完全正則(或吉洪諾夫的)。

類似所有分離公理，選取終拓撲不保持完全正則性。特別是，完全正則空間的商空間不必須是正則空間。吉洪諾夫空間的商空間甚至不必須是郝斯多夫空間。有 Moore平面的閉合商作為反例。

實數值連續函數

對於任何拓撲空間 X，設 C(X) 指示在 X 上的實數值連續函數族，並設 C*(X) 是有界實數值函數的子集。

完全正則空間可以特徵化為它們的拓撲完全確定自 C(X) 或 C*(X) 的性質。特別是:

• 空間 X 是完全正則的，當且僅當它有引發自 C(X) 或 C*(X) 的始拓撲。
• 空間 X 是完全正則的，當且僅當所有閉集可以被寫為 X 中零集合族的交集(就是說零集合形成給 X 的閉集的基)。
• 空間 X 是完全正則的，當且僅當 X 的餘零集合形成 X 的拓撲的基。

給定任意拓撲空間 (X, τ) 有一種普遍方式對 (X, τ) 關聯上一個完全正則空間。設 ρ 是在引發自 C_τ(X) 的 X 上的始拓撲，或等價的說，從 (X, τ) 中的餘零集合的基生成的拓撲。則 ρ 將是比 τ 粗的 X 上的最細完全正則拓撲。這種構造是普遍性的，在任何到完全正則空間 Y 的連續函數

$f:(X,\tau )\to Y$

都將在 (X, ρ) 上連續的意義上。用範疇論的語言，從 (X, τ) 到 (X, ρ) 的函子左伴隨於包含函子 CReg → Top。因此完全正則空間的範疇 CReg 是拓撲空間範疇 Top 的反射子範疇。通過選取科摩哥洛夫商，可以看出吉洪諾夫空間的子範疇也是反射的。

可以證明在上述構造中 C_τ(X) = C_ρ(X)，所以環 C(X) 和 C*(X) 典型的只在完全正則空間 X 中研究。

嵌入

吉洪諾夫空間完全就是那些可以嵌入到緊緻郝斯多夫空間內的空間。更精確地說，對於所有吉洪諾夫空間 X，存在緊緻郝斯多夫空間 K 使得 X 同胚於 K 的一個子空間。

事實上，你總是可以選擇 K 為立方體 (就是說，單位區間的可能無限乘積)。所有立方體都是緊緻郝斯多夫空間是吉洪諾夫定理的一個結論。因為所有緊緻郝斯多夫空間的子空間都是吉洪諾夫空間，所以:

拓撲空間是吉洪諾夫空間，當且僅當它可以被嵌入一個立方體中。

緊緻化

特別有趣的嵌入是X 的像是 K 中的稠密集；這叫做 X 的郝斯多夫緊緻化。給定任何吉洪諾夫空間 X 到緊緻郝斯多夫空間 K 的嵌入， X 在 K 中的像的閉包是 X 的緊緻化。

在郝斯多夫緊緻化中，有一個唯一「最一般」的，斯通–切赫緊緻化 βX。它由如下泛性質刻畫，給定從 X 到任何其他緊緻郝斯多夫空間 Y 的連續映射 f，有一個唯一的從 βX 到 Y 連續映射 g 擴張 f，在 f 是 g 和 j 的複合意義上。

一致結構

完全正則性正好是在拓撲空間上存在一致結構的必需條件。換句話說，所有均勻空間都有完全正則拓撲，而所有完全正則空間 X 是可一致化空間。拓撲空間允許分離的一致結構當且僅當它是吉洪諾夫空間。

給定完全正則空間 X 通常存在多於一個 X 上的一致結構相容於 X 的拓撲。但是，總是有最細一致結構，叫做 X 的精細一致結構。如果 X 是吉洪諾夫空間，則可以選擇一致結構使得 βX 成為均勻空間 X 的完全。

參考文獻

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings of continuous functions. Reprint of the 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp