可預測過程 是數學中隨機過程 里的一個概念。如果一個隨機過程在某個時刻的取值在這個時刻之前就可能可以知道（可測），那麼就稱這個過程是可預測過程。
設有
概率空間
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
測度空間
(
S
,
A
)
{\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}
有序的指標集
T
{\displaystyle T}
實數 集
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
[
0
,
T
0
]
{\displaystyle [0,T_{0}]}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
σ-代數
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
參考族
F
=
{
F
t
|
t
∈
T
}
{\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}
隨機過程
X
:
T
×
Ω
→
X
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
當指標集
T
{\displaystyle T}
可數 的）離散集合，比如
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
(
X
t
)
t
∈
N
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {N} }}
若且唯若 對任意的
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
X
n
+
1
{\displaystyle X_{n+1}}
F
n
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
可測 的隨機變量[ 1] :190 。通俗地說，只要完全掌握了這個隨機過程在
t
=
n
{\displaystyle t=n}
t
=
n
+
1
{\displaystyle t=n+1}
[ 2] :§8.2 。
當指標集
T
{\displaystyle T}
不可數 的）連續集合，比如
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
若且唯若 對任意的
t
∈
T
{\displaystyle t\in \mathbb {T} }
X
t
{\displaystyle X_{t}}
F
t
−
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}}
可測 的隨機變量。其中的參考族
F
t
−
=
⋃
s
<
t
F
s
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}=\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}}
[ 2] :§8.2 。換句話說，如果知道了隨機過程這個隨機過程
X
{\displaystyle X}
t
{\displaystyle t}
幾乎必然 有
X
t
=
lim
s
↑
t
X
s
{\displaystyle X_{t}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}
參考族
F
=
{
F
t
|
t
∈
T
}
{\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}
(
Ω
,
T
)
{\displaystyle (\Omega ,T)}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}
t
{\displaystyle t}
Y
=
Y
(
ω
,
t
)
{\displaystyle Y=Y(\omega ,t)}
X
=
X
(
ω
,
t
)
{\displaystyle X=X(\omega ,t)}
(
Ω
,
T
)
{\displaystyle (\Omega ,T)}
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}
[ 1] :226 [ 3] :171-172 。
任意的左連續適應過程 ，或者一列左連續適應過程的（概率為1的 ）極限，都是可預測過程[ 2] :§8.2 。實際上，可預測過程的集合就是所有左連續適應過程生成的σ-代數[ 1] :226 。
任意關於可預測過程的可測函數仍然是可預測過程[ 2] :§8.2 。
只有在可預測過程上才能定義關於半鞅 的積分[ 2] :§8.2 。
可預測過程可以用在分解半鞅 過程上。Doob-Meyer分解定理說明，設
X
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
鞅 ，那麼存在唯一的（局部）鞅
M
=
(
M
t
)
t
∈
T
{\displaystyle M=\left(M_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
單增 的局部可積 的可預測過程
A
=
(
A
t
)
t
∈
T
{\displaystyle A=\left(A_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
X
(
t
)
=
X
(
0
)
+
M
(
t
)
+
A
(
t
)
.
{\displaystyle X(t)=X(0)+M(t)+A(t).}
[ 1] :190 舉例來說，設
B
=
(
B
t
)
t
∈
T
{\displaystyle B=\left(B_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
標準布朗運動過程 ，那麼過程
(
B
t
2
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(B_{t}^{2}\right)_{t\in \mathbb {T} }}
M
(
t
)
=
B
t
2
−
t
{\displaystyle M(t)=B_{t}^{2}-t}
A
(
t
)
=
t
{\displaystyle A(t)=t}
[ 2] :§8.3 .
![{\displaystyle [0,T_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01d43506036829bdf63a3106f25b26e503d06a7)
