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可分離變數的微分方程

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可分離變數的微分方程也叫做變數分離方程,指的是形如 的方程.

等價定義

可化為的方程,稱為可分離變數的微分方程.

一般解法(求通解)

分離變數法

,若,兩邊取不定積分,得 ,這裏理解為某個確定的原函數,為任意常數.

也是一樣的解法.

初值問題(求特解)

1.不定積分法

為例,若給初始條件,則對兩邊取不定積分,得

,將初始條件代入,求得

,再代回原方程即得所要求的特解.


2.變上限積分法

仍以為例,若給初始條件,對兩邊取不定積分,得

,其中分別為的一個原函數,代入初始條件,有

,代回原方程得特解為,即

,根據牛頓—萊布尼茨公式,可知

,在不混淆的時候,可寫為

.


所以可以用兩邊取變上限積分的方法求這類初值問題.


若又給條件,將此條件代入,得

,即

.

參考資料

1.《常微分方程(第三版)》王高雄、周之銘等編 高等教育出版社

2.《高等數學(第六版)》同濟大學

3.《微積分(第二版)》同濟大學應用數學系

4.《微積分學習指導書》同濟大學應用數學系