反函數

函數ƒ和它的反函數ƒ^–1。由於ƒ把a映射到3，因此反函數ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裏，反函數，也稱為逆函數（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

定義與存在性

設$f$為一函數，其定義域為$X$，對應域為$Y$。如果存在一函數$g$，其定義域和對應域分別為$Y,\,X$，並對任意$x\in X$有 $g(f(x))=x$、對任意$y\in Y$有$f(g(y))=y$，則稱$g$為$f$的反函數，記之為$f^{-1}$。

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要條件是該函數為對射，即同時為單射和滿射。

若$f$為一實函數，還可通過水平線測試判斷其是否為單射、滿射或對射。

與限制的關係

一部分函數儘管本身不可逆，但它到其定義域的某個子集上的限制是可逆的。例如

$f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}$

$f$並不是單射，因$f(1)$和$f(-1)$均為$1$。但若取其到$[0,\infty )$上的限制，則這一限制為對射，並擁有反函數

${f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.$

反三角函數是限制定義域的另一個例子。正弦、餘弦等三角函數具有週期性，如

$\sin(x+2\pi )=\sin(x),$

這意味着其並非單射。若要定義三角函數的反函數，則需要限定其定義域，如反正弦函數通常定義為正弦函數到$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$上的限制的反函數。這一經過限制的定義域亦是反正弦函數的值域，稱作其主值。

性質

• 原函數的定義域、值域分別是反函數的值域、定義域。
• 原函數與其反函數的函數圖像關於函數$y=x$的圖像對稱。
• 嚴格單調函數一定存在反函數，且反函數與原函數的單調性一致。
• 擁有反函數的函數不一定是嚴格單調函數，例如$y=x^{-3}$

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函數定理