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嵌射、蓋射與對射

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在數學定義中,嵌射蓋射對射是指根據其定義域對應域的關聯方式所區分的三類映射

  • 嵌射:指將不同的變量映射到不同的值的映射。
  • 蓋射:指對應域等於值域的映射。即:對對應域中任意元素,都存在至少一個定義域中的元素與之對應。
  • 對射(也稱一一對應一一映射):既是嵌射又是蓋射的映射。直觀地說,一個對射映射形成一個對應,並且每一個輸入值都有正好一個輸出值以及每一個輸出值都有正好一個輸入值。 (在一些參考書中,「一一」用來指對射,但是這裏不用這個較老的用法。)

下圖對比了四種不同的情況:

嵌射(one to one 或 injection)

嵌射複合:第二個映射不必是嵌射。

一個映射稱為嵌射一對一)如果每個可能的像最多只有一個變量映射其上。等價的有,一個映射是嵌射如果它把不同值映射到不同像。一個嵌射映射簡稱嵌射。形式化的定義如下。

映射嵌射 當且僅當對於所有, 我們有
  • 一個映射是嵌射當且僅當是空的或是左可逆的,也就是說,存在一個映射 使得上的恆等映射.
  • 因為每個映射都是蓋射當它的對應域限制為它的值域時,每個嵌射導出一個到它的值域的對射。更精確的講,每個嵌射可以分解為一個對射接着一個如下的包含映射。令為把對應域限制到像的 ,令 為從中的包含映射.則. 一個對偶的分解會對蓋射成立。
  • 兩個嵌射的複合也是嵌射,但若是嵌射,只能得出是嵌射的結論。參看右圖。

蓋射(onto 或 surjection)

蓋射複合:第一個映射不必為蓋射

一個映射稱為蓋射(到上)如果每個可能的像至少有一個變量映射其上,或者說對應域任何元素都有至少有一個變量與之對應。形式化的定義如下:

映射蓋射當且僅當對任意,存在滿足
  • 映射為一個蓋射,當且僅當存在一個映射滿足等於上的單位映射。(這個陳述等同於選擇公理。)
  • 將一個蓋射的對應域中每個元素的原像集看作一個等價類,我們可以得到以該等價類組成的集合(原定義域的商集)為定義域的一個對射
  • 如果皆為蓋射,則為蓋射。如果是蓋射,則僅能得出是蓋射。參見右圖。

對射(bijection)

對射複合:第一個映射不必為蓋射、第二個映射不必為嵌射

既是嵌射又是蓋射的映射稱為對射. 映射為對射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。

映射對射當且僅當對任意存在唯一滿足
  • 映射f : AB為對射當且僅當其可逆,即,存在映射g: BA滿足g o f = A上的恆等映射,且f o gB上的恆等映射。
  • 兩個對射的複合也是對射。如g o f為對射,則僅能得出f為嵌射且g為蓋射。見右圖。
  • 同一集合上的對射構成一個對稱群
  • 如果皆為實數,則對射映射可以被視覺化為兩根任意的水平直線只相交正好一次。(這是水平線測試的一個特例。)

對射映射經常被用於表明集合XY是等的,即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應,則說這兩個集合等勢。

如果皆為有限集合,則這兩個集合中之間存在一個對射,當且僅當X和Y的元素數相等。其實,在公理集合論中,元素數相同的定義被認為是個特例,一般化這個定義到無限集合需要導入基數的概念,這是一個區別各類不同大小的無限集合的方法。

例子

對於每個映射給定定義域對應域很重要,因為改變這些就能改變映射屬於什麼

對射

  • 任意集合上的恆等映射id為一對射。
  • 考慮映射,定義為。這個映射是對射,因為給定任意一個實數,我們都能解,得到唯一的實數解
  • 指數映射 及其逆映射自然對數

嵌射、但非蓋射

  • 指數映射

蓋射、但非嵌射

既非嵌射也非蓋射

範疇論

範疇論單態射滿態射同構是嵌射、蓋射和對射概念的推廣。在集合範疇中的單態射滿態射同構分別對應嵌射、蓋射和對射映射。

參見