勒貝格控制收斂定理

勒貝格控制收斂定理也稱勒貝格受制收斂定理，（英語：Lebesgue's dominated convergence theorem），在數學分析和測度論中，這個定理給予了積分運算和極限運算可以交換順序的條件。對逐點收斂的函數序列而言，其積分運算和收斂的極限運算未必一定可以交換。控制收斂定理說明了，如果逐點收斂的函數序列中的每個函數都能被同一個勒貝格可積的函數「控制」（即在每一點，序列中的每個函數的絕對值都小於「控制函數」），那麼函數序列的極限函數的勒貝格積分等於函數序列中每個函數的勒貝格積分的極限。勒貝格控制收斂定理顯示出勒貝格積分相比於黎曼積分的優越性，在數學分析和實變函數論中有很大的應用。

敘述

設 $(S,\Sigma ,\mu )$ 為一個測度空間， $(f_{n})_{n\geq 0}$ 是一個實值的可測函數列。如果 $(f_{n})$ 逐點收斂於一個函數 $f$ ，並存在一個勒貝格可積的函數 $g\in L^{1}$ ，使得對每個 $n\geq 0$ ，任意 $x\in S$ ，都有

|f_{n}(x)|\leq g(x)

，

則：

$f$ 也是勒貝格可積的， $f\in L^{1}$ ；
$\int _{S}fd\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

其中的函數 $g$ 一般取為正值函數。函數列 $(f_{n})_{n\geq 0}$ 的逐點收斂和 $|f_{n}(x)|\leq g(x)$ 的性質可以減弱為 $\mu -$ 幾乎處處成立。

證明

勒貝格控制收斂定理是更廣泛的法圖-勒貝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一個引用法圖引理的證明。

由於 $f$ 是 $(f_{n})$ 逐點收斂的極限，因此對其仍然有

\forall x\in S\ |f(x)|\leq g(x)

（於是

\scriptstyle f\in L^{1}

）。

同理，對任意的 $n$ 有：

|f-f_{n}|\leq 2g

以及

\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.

根據反向的法圖引理，

\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0.

因此，由勒貝格積分的線性性和單調性，就有

{\biggl |}\int _{S}f\,d\mu -\int _{S}f_{n}\,d\mu {\biggr |}={\biggl |}\int _{S}(f-f_{n})\,d\mu {\biggr |}\leq \int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu ,

而後者趨於0，於是定理得證。

控制函數的必要性

控制收斂定理能夠成立的一個重要因素是存在一個可積的函數，使得函數列收斂的過程能夠「安全」進行。如果缺少這個條件，調換運算次序就可能會導致各種後果。下面是一個例子：

定義函數 $f_{n}$ 為：對於 $(0,{\frac {1}{n}}]$ 中的 $x$ ， $f_{n}(x)=n$ 。對於 $({\frac {1}{n}},1]$ 中的 $x$ ， $f_{n}(x)=0$ 。對 $(0,1]$ 中的任意 $x$ ，當 $n$ 趨於無窮大時， $f_{n}(x)$ 總趨於零，同時 $f_{n}$ 在 $(0,1]$ 上的積分總是1。結果是：

\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,

控制收斂定理不成立。原因是不存在可積的控制函數：定義 $h=\mathrm {sup} _{n}f_{n}$ 為：對 $(0,1]$ 中每一點 $x$ ， $h(x)=\sup _{n\geq 0}f_{n}(x)$ 。那麼在 ${\Bigl (}{\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}{\Bigl ]}$ 上 $h(x)=n$ 。於是如果存在控制函數 $g$ ，那麼 $g\geq h$ ，但是

\int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{1/m}^{1}h(x)\,dx=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}n\,dx=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \quad

（當

m\to \infty

時）

也就是說 $g$ 不可積。

由此可見，可積的控制函數是定理成立的必需條件。

參見

參考資料

R.G. Bartle, "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", Wiley Interscience, 1995.
H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6