函數極限

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$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函數的圖形，請注意在$x=0$處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數${\frac {\sin x}{x}}$的定義域中不包括「0」，但當$x$無限接近於零時，${\frac {\sin x}{x}}$就無限接近於 1，換句話說，$x$接近於零時，${\frac {\sin x}{x}}$的極限是 1。

在數學中，函數極限（英語：Limit of a function）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 $f$ 於 $a$ 的極限為 $L$ ，直觀上意為當 $x$ 無限接近 $a$ 時，$f(x)$ 便無限接近 $L$ 。

正式定義

動機

如果取 $\delta$ 為＂ $x$ 與 $a$ 差距的上限＂；類似地，取 $\epsilon$ 為＂ $f(x)$ 與 $L$ 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 $\delta >0$ ，存在 $0<\epsilon \leq \delta$，使得對所有的 $x\in D_{f}$ ，只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

其中 $\epsilon \leq \delta$ 是要確保 $\delta$ 越來越小時， $\epsilon$ 也會越來越小； $0<\left|x-a\right|<\delta$ 是為了凸顯 $x$ 是逼近而非等於 $a$ ，但對應的 $f(x)$ 是可以等於 $L$ 的。

但對於實函數 $f(x)=x^{2}$ 逼近 $a=0$ 時，考慮到 $\delta \geq 1$ 的部分；在 ${\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}$ 下是沒有這樣的 $\epsilon$ 使得 $0<\epsilon \leq \delta$ 且 $\left|x^{2}-0\right|<\epsilon$ 的，但數值上 $f(x)=x^{2}$ 的確在 $a=0$ 時很靠近 $0$ ，也就是 $\epsilon \leq \delta$ 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 $x$ 的變化去限制 $f(x)$ 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 $\epsilon$ 出發，去找怎樣的 $x$ 會讓 $f(x)$ 與 $L$ 的差距小於 $\epsilon$ ，也就是從＂若對所有的 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ ＂出發的話，顯然上面 $f(x)=x^{2}$的例子只要取 $\delta ={\sqrt {\epsilon }}$ 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 $\epsilon$ 和 $\delta$ 的最小值為 $x$ 與 $a$ 差距的上限，還是會有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ，這樣就可以用 $\epsilon$ 控制 $x$ 的變化，而滿足＂ $x$ 趨近於 $a$ 時 $f(x)$ 趨近於 $L$ ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 $\delta >0$，都有 $x\in D_{f}$ 使得 $0<\left|x-a\right|<\delta$ ，所以定義函數極限之前必須要求 $a$ 為 $D_{f}$ 的極限點。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 $r>0$ 使得 $f(x)$ 在 $0<\left|x-a\right|<r$ 都有定義，也就是存在 $a$ 的去心鄰域使 $f(x)$ 都有定義，這樣的話 $a$ 會自動成為 $D_{f}$ 的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限

$f$ 為實函數， $a\in \mathbb {R}$ 為 $D_{f}$ 的極限點且 $L\in \mathbb {R}$ ，若＂對所有的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，使得對所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

則以 $\lim _{x\to a}f(x)=L$ 表示，稱 $L$ 為實函數 $f$ 於 $a$ 的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 $D_{f}$ 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 $\delta >0$ 存在 $x\in D_{f}$ 使得 $x>\delta$ ＂。也就是直觀上可以用定義域 $D_{f}$ 裏的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，$L\in \mathbb {R}$，且若＂對所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得對所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $x>\delta$ 時，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

則稱 $L$ 為實函數 $f$ 於正無窮大（ $\infty$ ）的極限，記作 $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ 類似的，若假設＂對所有的 $\delta <0$ 存在 $x\in D_{f}$ 使得 $x<\delta$ ＂，那在這種條件下，$L\in \mathbb {R}$，且若＂對所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta <0$，使得對所有的 $x\in D_{f}$ 只要 $x<\delta$ 時，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]$

則稱 $L$ 為實函數 $f$ 於負無窮大（ $-\infty$ ）的極限，記作$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

制限極限

直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

定理

若 $A\cup B=D_{f}$ 且 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的極限點，則

$\lim _{x\to a}f(x)=L$

等價於

$\lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L$ 且 $\lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L$

上述定理的證明只須注意到 $a$ 也必為 $D_{f}$ 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 $A\cup B=D_{f}$ ，還有對 $x\in A$ 取 $\delta _{A}$ 的和 $x\in B$ 取的 $\delta _{B}$ ，那只要取 $\delta$ 為 $\delta _{A}$ 和 $\delta _{B}$ 的最小值，對所有 $x\in D_{f}$ 就有 $(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)$ ；反過來由原函數 $f$ 推出 $f|_{A}$ 和 $f|_{B}$ 的狀況是非常顯然的。

左右極限

若取

$A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}$

$B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}$

如果假設 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的極限點，那 $A$ 和 $B$ 顯然符合上面定理的要求的，而這時

$\lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的右極限＂，也可以用 $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$ 表示。

類似的

$\lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的左極限＂，也可以用 $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ 表示。

常用公式

有理函數

以下公式中，$n>0,a>1$。

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .$

無理函數

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

三角函數

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0$

指數函數

• $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1$

對數函數

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty$